高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布例题与探究 新人教a版选修2-3

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1、2.4正态分布典题精讲【例1】下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ.（1）φμ,σ(x)=（-∞＜x＜+∞）;（2）φμ,σ(x)=（-∞＜x＜+∞）;（3）φμ,σ(x)=（-∞＜x＜+∞）.思路分析:掌握正态曲线的表达式的特征是学习本节的前提，本题只要对照φμ,σ(x)=，就可以确定均值μ和标准差σ.解:（1）μ=0,σ=1.（2）μ=1,σ=2.（3）μ=-1,σ=.绿色通道：通过正态总体的函数表示式判断其均值μ和标准差σ是因为在总体密度曲线的表达式中参数μ，σ分别可用样本均

2、值和样本标准差去估计.当μ=0，σ=1时，总体称为标准正态总体，相应的曲线称为标准正态曲线.黑色陷阱：在记忆正态曲线的表达式φμ,σ(x)=时，应该注意指数的特征，切不可误记为等形式.变式训练若某一正态分布的期望和方差分别为2和4，则这一正态曲线的表达式为___________.答案:φμ,σ(x)=（-∞＜x＜+∞）【例2】下图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是()A.三种品牌的手表日走时误差的均值相等B.日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙C.日走

3、时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙D.三种品牌手表中甲品牌的质量最好思路解析:只要理解正态曲线中两个参数μ,σ的意义，就不难判断四个命题的真假.从图象中可以看出甲、乙、丙三种曲线的对称轴相同，所以它们的日走时误差的均值相等，A是正确的；再根据图象的“瘦高”与“矮胖”情况可以判断它们的标准差从小到大依次为甲、乙、丙，这也说明甲、乙、丙三种品牌的手表日走时误差的均值相当，但甲品牌偏离于均值的离散程度较小，所以甲品牌的质量最好，因此C、D是正确的，答案应选B.答案:B绿色通道：通过函数的图象研究函数的性质是

4、学习数学的基本方法之一.黑色陷阱：对于正态分布密度曲线，易将两个参数μ,σ混淆，如本题常会误认为B正确.变式训练下图是正态分布N(0,σ2)的曲线，则阴影部分所表示的区域()A.范围无界，面积为1B.范围有界，面积与σ有关C.范围有界，面积为1D.范围无界，面积与σ有关答案:A【例3】正态分布密度函数的表示式是f(x)=（-∞＜x＜+∞).（1）求f（x）的最大值；（2）利用指数函数性质说明其单调区间及曲线的对称轴.解:（1）因为e>1，所以要使f(x)最大，则-2(x+1)2最大，即x=-1时，f(x

5、)有最大值.（2）由于指数函数y=ex是增函数，故当x∈（-∞,-1）时，函数为增函数；当x∈［-1,+∞）时，函数为减函数.其对称轴为直线x=-1.黑色陷阱：本题容易忽视e的值对单调性和最值的影响.变式训练由正态分布N(1,8)对应曲线可知，当x____________=时，函数f(x)有最大值__________.思路解析:画出N(1,8)的图象,由图象可直观得出答案.答案:1问题探究问题：正态分布在实际生活中有什么重要意义（或有哪些应用）？你能举例说明吗？导思：理解正态分布在实际生活中的应用有助于

6、更好地学习这一部分内容，同时可感受到数理统计在我们生活、生产、军事等领域的作用.探究：在实际生产与生活中，大量的随机现象都服从或近似服从正态分布.如生产上的产品的质量、使用寿命、农作物的亩产量等，测量上如测量的误差、群体的身高、群体的智商，军事上如射击命中点与靶心距离的偏差、炮弹的落点等等都可认为是服从正态分布的随机变量.正态分布在概率与统计中占有重要地位，这也是我们要学习正态分布的原因.