高中数学 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程成长训练 新人教a版选修4-4

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1、二圆锥曲线的参数方程主动成长夯基达标1.参数方程表示的曲线不在(　　)A.x轴上方B.x轴下方C.y轴右方D.y轴左方答案:D2.直线=1与椭圆=1相交于A、B两点，该椭圆上点P使得△PAB的面积等于3，这样的点P共有(　　)A.1个B.2个C.3个D.4个解析:设P1(4cosα,3sinα),α∈(0,),则SP1AOB=S△OAP1+S△OBP1=12×4sinα+12×3×4cosα=6(sinα+cosα)=6sin(α+).当α=时,SP1AOB的最大值为6.故S△P1AB≤6-S△OAB=6-6＜3.故AB的上方不存在满足题意的点P.又

2、S△OAB=6＞3,所以AB的下方存在2个点满足要求.答案:B3.椭圆(θ为参数)的左焦点的坐标是(　　)A.(-7,0)B.(0,-7)C.(-5,0)D.(-4,0)解析:椭圆中,a=4,b=3,∴c=7.答案:A4.参数方程(1+sinθ)(0<θ<2π)表示(　　)A.双曲线的一支,这支过点(1,)B.抛物线的一部分,这部分过点(1,)C.双曲线的一支,这支过点(-1,)D.抛物线的一部分,这部分过点(-1,)解析:消去参数θ,得x2=2y.∵x=

3、cos+sin

4、=

5、2sin(θ+)

6、,∵0<θ<2π,∴0≤x≤.∴参数方程表示抛物线的

7、一部分,这部分过(1,).答案:B5.已知曲线的参数方程为(t为参数),点A、B在曲线上对应的参数分别为t1和t2,又t1+t2=0,则

8、AB

9、等于(　　)A.2p(t1-t2)B.2p(t12+t22)C.2p

10、t1-t2

11、D.2p(t1-t2)2解析:由x1=2pt12,x2=2pt22,∴x1-x2=2p(t12-t22)=2p(t1+t2)(t1-t2)=0.则有

12、AB

13、=

14、y2-y1

15、,又∵y1=2pt1,y2=2pt2,∴

16、y2-y1

17、=2p

18、t2-t1

19、.答案:C6.点P(x,y)在椭圆+(y-1)2=1上,则x+y的最大值是(　　)

20、A.3+5B.5+5C.5D.6解析:由于点P(x,y)在椭圆+(y-1)2=1上,有(φ为参数).∴x+y=3+2cosφ+sinφ.由三角函数性质知x+y的最大值为3+.答案:A7.参数方程(θ为参数)表示的曲线为(　　)解析:由x=sinθ+cosθ两边平方,得x2=1+2sinθcosθ=1+2y.∴y=x2-.且x=sinθ+cosθ=sin(θ+)∈［-,］.答案:C8.在椭圆+y2=1上求一点P,使点P到直线x-y+4=0的距离最小.解:∵点P在椭圆+y2=1上,可设P(2cosφ,sinφ),则有d=d=当θ-φ=时,d最小=∴P()

21、.9.设P(x,y)是椭圆2x2+3y2=12上的一动点,求x+2y的取值范围.解:由2x2+3y2=12,∴=1.∴(θ为参数).∴x+2y=cosθ+4sinθ=sin(θ+φ),θ为实数,φ为辅助角.∴x+2y∈［-,］.10.设直线l:x+2y+1=0交椭圆C:4(x-1)2+9(y+2)2=36于A、B两点，在椭圆上求一点P，使△ABP的面积最大.解析:因为A、B为两定点,AB为定长,所以可将问题转化为在椭圆上求一点到直线的距离最大的问题.解:设椭圆C上的点P(1+3cosθ,-2+2sinθ),由于定直线l和定椭圆C截得的弦长为定长,又设P到直线l的距

22、离为d,则d==

23、5sin(θ+α)-2

24、,其中tanα=.故当sin(θ+α)=-1,即θ=2kπ+-α,k∈Z时,d有最大值,这时△ABP的面积最大.∵sinθ=sin(2kπ+-α)=-cosα=-,cosθ=-sinα=-,∴P()为所求.11.已知抛物线y2=2px(p>0)上存在两点关于直线x+y-1=0对称，求p的取值范围.解析:利用抛物线的参数方程,设点A、B的坐标分别为(2px12,2px1),(2px22,2px2),又二者关于直线x+y-1=0对称,则可列出等价方程,建立p的不等式.解:设抛物线上两点A、B的坐标分别为(2px12,2px1),

25、(2px22,2px2)且关于直线x+y-1=0对称,则有由第二个方程可得x1+x2=1代入第一个方程得x12+x22=＞0,故0＜p＜1.又由,得,即0＜p＜为所求.12.已知双曲线=1(a>0,b>0)的动弦BC平行于虚轴，M、N是双曲线的左、右顶点,(1)求直线MB、CN的交点P的轨迹方程；(2)若P(x1,y1)，B(x2,y2),求证:a是x1、x2的比例中项.解析:由题意可知点M的位置是由B、C的位置所决定的,而B、C又是动点,如果将B、C的坐标设为一般的形式,显然很难计算,计算起来很复杂,故在此可考虑将B、C