高中数学 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程达标训练 新人教a版选修4-4

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1、二圆锥曲线的参数方程更上一层楼基础·巩固1直线=1与椭圆=1相交于A、B两点，该椭圆上点P使得△PAB的面积等于3，这样的点P共有()A.1个B.2个C.3个D.4个思路解析：设P1(4cosα,3sinα),α∈(0,),则=×4sinα+×3×4cosα=6(sinα+cosα)=sin(α+).当α=时,的最大值为,故-6＜3.故AB的上方不存在满足题意的点P.又S△OAB=6＞3,所以AB的下方在O与AB之间存在2个点满足要求.答案：B2方程（t为参数）表示的曲线是()A.双曲线B.双曲线的上支C.双曲线

2、的下支D.圆思路解析：可把方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它所表示的曲线类型.注意到2t与2-t互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t的项.又注意到2t>0，y2-x2=4，∴x2-y2=(2t-2-t)2-(2t+2-t)2=-4.∴2t+2-t≥=2，即y≥2.可见与以上参数方程等价的普通方程为y2-x2=4(y≥2).显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支.答案：B3若F1,F2是椭圆=1的焦点，P为椭圆上不在x轴上的点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为____

3、_______________.思路解析：设G(x,y),P(5cosθ,4sinθ),而F1(-3,0),F2(3,0).由重心坐标公式，得(θ为参数).消参，得点G的轨迹方程为=1.答案：=14设动直线l垂直于x轴，与椭圆=1交于A、B两点，P是l上满足

4、PA

5、

6、PB

7、=1的点，求P点的轨迹方程.思路分析：由椭圆的方程可设A、B两点的坐标，代入

8、PA

9、

10、PB

11、=1，可得一参数方程，消参即可得到所求P点的轨迹方程.解：设P(x0,y0),A(2cosθ,sinθ),B(2cosθ,sinθ)x0=2cosθ,①

12、由

13、PA

14、

15、PB

16、=1,得y02=2-2cos2θ±1,②由①②消去参数,得y02=2-x02±1(

17、x0

18、≤2).5过抛物线C：y2=2px(p>0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB，求线段AB中点M的轨迹方程.思路分析：由抛物线的方程可设点A、B的参数方程，然后消参即可求得线段AB中点M的轨迹方程.解：设C的方程为(t为参数)且设A(2pt12,2pt1),B(2pt22,2pt2),则有kOAkOB==-1;设M(x,y)6求椭圆=1上一点P与定点(1,0)之间距离的最小值.思路分析：可由椭圆的方程设出点

19、P的坐标，然后代入两点间的距离公式，即转化为三角函数的最值问题.解：设P(3cosθ,2sinθ),则P到定点(1,0)的距离为d(θ)=当cosθ=时,d(θ)取最小值.7设直线l:x+2y+1=0交椭圆C:4(x-1)2+9(y+2)2=36于A、B两点，在椭圆上求一点P，使△ABP的面积最大.思路分析：因为A、B为两定点,AB为定长,所以可将问题转化为在椭圆上求一点到直线的距离最大的问题.解：设椭圆C上的点P(1+3cosθ,-2+2sinθ),由于定直线l和定椭圆C截得的弦长为定长,又设P到直线l的距离为

20、d,则d=

21、5sin(θ+α)-2

22、,其中tanα=.故当sin(θ+α)=-1,即θ=2kπ+-α,k∈Z时,d有最大值,这时△ABP的面积最大.∵sinθ=sin(2kπ+-α)=-cosα=,cosθ=-sinα=,∴P(,)为所求.8已知抛物线y2=2px(p>0)上存在两点关于直线x+y-1=0对称，求p的取值范围.思路分析：利用抛物线的参数方程设点A、B的坐标分别为(2px12,2px1),(2px22,2px2),关于直线x+y-1=0对称,则可列出等价方程,建立p的不等式.解：设抛物线上两点A、B

23、的坐标分别为(2px12,2px1),(2px22,2px2),关于直线x+y-1=0对称,则有由第二个方程可得x1+x2=1,代入第一个方程得x12+x22=＞0,故0＜p＜1.又由>()2得>,即0＜p＜为所求.9设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P(0,)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.思路分析：本题充分把解析几何问题与代数知识紧密结合,在解决该题的过程中无论哪种办法都不可避免地要用到代数相关知识,这也体现了数学学科的特点.该题也可

24、从两个方面去考虑,利用椭圆参数方程与利用普通方程来考虑把问题解决.对于学生灵活应用知识的能力也是一个考查,对于具体问题具体分析,从而解决问题.解：由题设,设椭圆的参数方程为(a＞b＞0),∵e=,∴a=2b.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则d2=x2+(y-)2=a2cos2θ+(bsinθ-)2=-3b2(sinθ+)2+4b2+3,如果＞1,b＜,则当sin