高中数学 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程成长训练 新人教a版选修4-4

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1、一曲线的参数方程主动成长夯基达标1.已知某条曲线的参数方程为(其中a是参数)，则该曲线是(　　)A.线段B.圆C.双曲线D.圆的一部分解析:本题中的参数方程对于同学们来说不太熟悉,很自然这时应该考虑将其转化为相应的普通方程来看,由此进行消参,如何消参,又需要适当的观察,将两式平方相减,得x2-y2=1,并且由

2、x

3、=

4、a+

5、≥1,x≥1或x≤-1,易知结果.答案:C2.已知某条曲线的参数方程为(0≤t≤5)，则该曲线是(　　)A.线段B.圆弧C.双曲线的一支D.射线解析:消去参数t,将其化为普通方程,并注意x,y的范围即可确定.由题中的参数方程(0≤t≤5),消去参数t,得

6、x-3y=5.又0≤t≤5,故1≤y≤26.故题中所给曲线是线段.答案:A3.若曲线(θ为参数),则点(x,y)的轨迹是(　　)A.直线x+2y-2=0B.以(2,0)为端点的射线C.圆(x-1)2+y2=1D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析:∵x=1+cos2θ=1+1-2sin2θ=2-2y,且0≤x≤2,0≤y≤1,∴轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段.答案:D4.曲线C的方程为(t∈R)，则曲线C的图象在(　　)A.第一象限　B.第二象限　C.第三象限　D.第四象限解析:本题只需要判定该曲线上的点的坐标的符号即可,不需要知道图象形状,故只需就其方

7、程来判定各点的横、纵坐标的符号即可.x=(t+1)2+2≥2,y=(t+2)2+1≥1,从而易知该曲线位于第一象限.答案:A5.若直线y=ax+b经过第二、三、四象限,则圆(θ为参数)的圆心在(　　)A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限解析:∵直线y=ax+b经过第二、三、四象限,∴a<0,b<0.∴圆心(a,b)在第三象限.答案:B6.直线系方程为xcosφ+ysinφ=2,圆的参数方程为(φ为参数),则直线与圆的位置关系为(　　)A.相交不过圆心B.相交且经过圆心C.相切D.相离解析:圆的普通方程为x2+y2=4,圆心(0,0)到直线xcosθ+ysinθ

8、-2=0的距离等于d==2,等于半径,所以直线与圆相切.答案:C7.点P(3,b)在曲线上,则b=_________.解析:3=+1,∴t=±2.∴y1=-5=b,y2=3=b.答案:3或-58.圆(θ为参数,r>0)的直径是4,则圆心坐标是_________.解析:∵2r=4,∴r=2.∴圆心坐标是(r,),即(2,1).答案:(2,1)9.动点(2-cosθ,cos2θ)的轨迹的普通方程是_________.解析:设动点坐标为(x,y),得这就是动点所表示的曲线的参数方程.消去参数θ,得y=2(2-x)2-1,即(2-x)2=(y+1),由于

9、y

10、=

11、cos2θ

12、≤1,动

13、点轨迹只是抛物线的一部分,即(x-2)2=(y+1)(1≤x≤3).答案:y=2(x-2)2-1(1≤x≤3)10.已知实数x、y满足条件x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的取值范围是_________.解析:本题条件可理解为点(x,y)在圆x2+y2-2x+4y=0上移动,这是数形结合的思想,圆的参数方程为x-2y=1+cosθ-2(-2+sinθ)=5+5(cosθ-2sinθ)=5+5sin(α-θ).答案:［0,10］11.已知实数x、y满足(x+1)2+(y-2)2=16，求3x+4y的最值.解析:这样的题目可考虑数形结合,把满足的x、y视为圆(x+1)2+(y

14、-2)2=16上的动点,可考虑利用圆的参数方程来求解,也可引入向量来求解,这样也要求同学们对于所学知识能够使用.解:由题意知,设代入3x+4y=3(-1+4cosθ)+4(2+4sinθ)=20cos(θ+α)+5,于是3x+4y的最大、最小值分别为25、-15.12.求u=的最小值.解:令P(cosθ,sinθ)、Q(1,2),P为圆x2+y2=1上任意一点.如图可知,u=就是直线PQ的斜率.当过Q的直线与圆x2+y2=1相切时,切线的斜率就是所求的最小值.设过Q与圆x2+y2=1相切的直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0.∵圆心O到切线PQ的距离等于半径

15、1,∴=1,解之,得k=.∴u的最小值为.13.已知点Q是圆x2+y2=4上的动点，定点P(4,0)，若点M分PQ所成的比为1∶2，求点M的轨迹.解析:本题是比较典型的求轨迹问题,一个点的位置随另一点的位置的变化而变化,要求的是动点的轨迹,可以先求出其轨迹方程,然后根据方程得知其轨迹.解:设点Q(2cosθ,2sinθ),M(x,y),则由题意得两式平方相加,得点M的轨迹方程为(-2)2+(2)2=4,即(x-)2+y2=,故其轨迹为以点