《高数极限和连续》word版

《《高数极限和连续》word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、【极限】一、数列极限1）数列的单调性对于数列﹛x﹜,如果有x≤x（即x≤x≤····≤x≤···）,n≥1，则称﹛x﹜是单调增加的；若x≥x，n≥1，则称﹛x﹜是单调减少的。2）数列的有界性如果对于数列﹛x﹜，存在正整数M，使得对每一个x都满足≤M，则称数列﹛x﹜是有界的；如果这样的数不存在，则称数列﹛x﹜是无界的。例:﹛﹜,﹛﹙﹣1﹚﹜，﹛﹜是有界的，﹛n﹜是无界的3）数列的极限对于数列﹛x﹜，如果当n∞时，x无限的趋于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列﹛x﹜以常数A为极限，或称数列﹛x﹜收敛于A，记作：＝A或xA（当

2、n∞时）否则称数列﹛x﹜没有极限，如果数列﹛x﹜没有极限，就称数列﹛x﹜是发散的。4）数列极限的性质定理1：若数列﹛x﹜收敛，则其极限值必定唯一定理2：若数列﹛x﹜收敛，则它必定有界（反之不对！！）5）数列极限的存在准则定理3：（两边夹定理）若数列﹛x﹜，﹛y﹜,﹛z﹜满足下列条件：①y≤x≤z，n＝1,2，····②x＝A，＝A那么，数列﹛x﹜的极限存在，且＝A定理4：若数列﹛x﹜为单调有界数列，则存在6）数列极限四则运算定理5：若＝A＝B则①(±y)＝±y＝A±B②(·y)＝·y＝AB③若B≠0，则＝＝④对于任意常数a，﹙a·

3、﹚＝aA二、函数的极限1）函数在一点处的极限①当x→x时函数的极限如果当x无限的趋于x时，函数无限的趋于一个确定的常数A，则称当x→x时，函数f(x)的极限是A，记作：＝A或→A(当x→x时)②当x→x时函数的左（或右）极限如果当x从x的左边（或右边）无限的趋于x时，函数无限的趋于一个确定的常数A，则称当x→x时，函数的左极限（或右极限）是A，记作：＝f（x－0）＝A或＝f（x＋0）＝A定理6：＝A的充要条件是：＝＝A2）x→∞时，函数的极限①当x→∞时，函数的极限如果当x→∞时，函数无限的趋于一个确定的常数A，则称当x→∞时，函

4、数的极限是A，记作：＝A或→A(当x→∞时)②当x→﹢∞（或﹣∞）时，函数的极限如果当x→﹢∞（或﹣∞）时，函数无限的趋于一个确定的常数A，则称当x→﹢∞（或﹣∞）时，函数的极限是A，记作：＝A或＝A定理7：＝A的充要条件是：＝＝A3）函数极限的性质定理8：若存在，则其极限值必定唯一定理9：设函数，g(x)，h(x)在点x的某个领域内（x可除外）满足条件：①≤≤②＝＝A,则＝A（注：定理8和定理9，当x→∞时也成立）4）函数极限的运算法则定理10：若＝A,＝B,则①lim[±]＝±＝A±B②lim[·]＝·＝AB③当B≠0时，li

5、m＝＝①＝三、无穷小量与无穷大量1）无穷小量（0，仅此一个数）如果x在某个变化过程中，的极限值为0，则称在该变化过程中，为无穷小量，记作：＝0定理11：x在某个变化过程中，的极限值为A的充要条件：在x的同一变化过程中，为无穷小量。2）无穷大量若果x在某个变化过程中，无限增大，则称在该变化过程中，为无穷大量，记作：。如果＝﹢∞，则称在该变化过程中，为正无穷大量。反之称为负无穷大量3）无穷小量与无穷大量的关系定理12：在x的同一变化过程中，如果为无穷大量，则为无穷小量。反之，如果为无穷小量，则为无穷大量。4）无穷小量的基本性质①若为无

6、穷小量，则﹣也是无穷小量②若，为无穷小量，则也为无穷小量①若为无穷小量，且,则为无穷小量②若，为无穷小量，则为无穷小量注：无穷大量具有性质①②，不具有性质③④5）无穷小量比较设和是同一变化过程中的无穷小量①如果＝0，则称是比高阶的无穷小量，记作②如果＝C≠0，则称是与同阶的无穷小量；特别的，若C=1，则称与等价的无穷小量，记作③如果＝∞，则称是比低阶的无穷小量两个等价无穷小量可以互相代换，但只能在极限的乘除法运算中应用常用等价无穷小量代换有：（当x→0时）四、两个重要极限1）＝1推广式：＝12）＝e特别的：＝e＝e等价于＝e，这个

7、形式有如下特征：①指数的绝对值趋于无穷大②括号内是两项之和，第一项是1，第二项是括号外指数的倒数定理14：＝e↓推论若，则：五、求极限的方法①运用极限的四则运算法通过通分、约分等形式求极限②利用无穷小量的性质求极限③利用等价无穷小量（或无穷大量）求极限④利用两个重要极限求极限【函数的连续性】一、函数连续性的概念1）函数在点x处连续设函数在点x的某个邻域内有定义，当x趋于x时趋于，则函数在点x处连续，记作：定理15：设在点x的某个邻域内有定义，则在点x处连续的充要条件是，当，的左右极限存在且等于函数值，即：＝＝由定理15知：构成在点

8、x处连续的三要素是：①函数在点x处有定义②当，的极限存在③极限值＝该点函数值若上述三点不满足，则在点x处不连续，即间断1）左（右）连续对于函数，若＝，则称在x处左连续若＝，则称在x处右连续定理16：若函数在点x处连续，则在点x处即左连续也右连续2）