高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合课时训练 理 新人教a版选修2-3

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1、1.2排列与组合1．排列（1）排列的定义一般地，从n个_________中取出个元素，按照_________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.（2）排列数、排列数公式从n个不同元素中取出个元素的_________叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.一般地，求排列数可以按依次填m个空位来考虑：假设有排好顺序的m个空位，从n个元素中任取m个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为m个步骤来实现.根据分步乘法计数原理，全部填满m个空位共有种填法.这样，我们就得到公式_________，其中，且.这个公式叫

2、做排列数公式.n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个_________，这时公式中，即有，就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示.所以n个不同元素的全排列数公式可以写成.另外，我们规定_________.于是排列数公式写成阶乘的形式为_________，其中，且.注意：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.2．组合（1）组合的定义一般地，从n个不同元素中取出个元素______

3、___，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.（2）组合数、组合数公式从n个不同元素中取出个元素的所有_________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号_________表示.，其中，且.这个公式叫做组合数公式.因为，所以组合数公式还可以写成_________，其中，且.另外，我们规定.（3）组合数的性质性质1：.性质1表明从n个不同元素中取出m个元素的组合，与剩下的个元素的组合是一一对应关系.性质2：.性质2表明从个不同元素中任取m个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m个元素中不含某个元素a的组合，只需在除去元素a的其余n个元素中任取m个

4、即可，有个组合；第2类，取出的m个元素中含有某个元素a的组合，只需在除去a的其余n个元素中任取个后再取出元素a即可，有个组合.参考答案：1．（1）不同元素一定的顺序（2）所有不同排列的个数全排列12．（1）合成一组（2）不同组合重点排列、组合问题的求解方法难点排列数、组合数公式的理解与应用，排列、组合问题的求解方法易错（1）忽略排列的有序性；（2）容易重复计数与遗漏计数一、排列数公式与组合数公式的应用排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数.排列数公式的阶乘形式主要有两个作用：（1）当m，n较大时，使用计算器快捷地算出结果；（2）对含有字母的排列数的式子进行变形.应用组合数

5、公式化简、求值、解方程、解不等式等时，一定要注意隐含条件，且，即上标不大于下标且均为正整数.另外，注意应用组合数的性质.【例1】求值：.【解析】由组合数的性质，可得解得4≤n≤5.又因为n∈N*，所以n＝4或n＝5.当n＝4时，原式.当n＝5时，原式.【例2】求下列方程中的值.（1）.（2）.【解析】（1）由得.,.化简整理得，解得(舍去)..（2）由得，即，化简得,解得.,∴原方程的解是.【名师点睛】在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简方程或不等式，最后得出问题的解.二、无约束条件的排列、组合问题没有限制条件的排列问题,即对所排列

6、的“元素”或所排列的“位置”没有特别的限制,这一类题相对简单,分清“元素”和“位置”即可.无约束条件的组合问题,只需按照组合的定义,直接列出组合数即可,注意分清元素的总个数及取出元素的个数.有时还需分清完成一件事是需要分类还是分步.【例3】从六个数字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数,这样的三位数共有           个.(结果用数字作答)【解析】当选到的偶数是0时，有个；当选到的偶数不是0时，有个，故共有12+36=48个.【名师点睛】判断一个具体问题是否为排列问题，就是从n个不同元素中取出m个元素后，在安排这m个元素的时候是否有序，有序就是排列，

7、无序就不是排列.而检验是否有序的依据就是变换元素的“位置”，看结果是否有变化，有变化就是有序，无变化就是无序.三、元素的“在”与“不在”“在”与“不在”的有限制条件的问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出