高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理自我小测 新人教b版必修5

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1、1.1.1正弦定理自我小测1．在△ABC中，a＝1，∠C＝60°，若c＝，则∠A的值为(　　)A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°2．已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b等于(　　)A．2B．4＋2C．4－2D．－3．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB＝b，则角A等于(　　)A．B．C．D．4．设a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是(　　)A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂

2、直5．若＝＝，则△ABC是(　　)A．等边三角形B．有一内角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形6．在△ABC中，a＝1，b＝x，∠A＝30°，则使△ABC有两解的x的范围是______．7．在平地上有A，B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南偏西25°距离为300米的地方，在A测山顶的仰角是30°，则山高为______米．(结果保留整数)8．在△ABC中，∠B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为__________．9．已知a，b，c分别为△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，p＝(cosC，sinC)，q＝(1，)，且p∥q．(1

3、)求∠C的大小；(2)若sinB＝cos2B，且c＝3，求a，b的值．10．在△ABC中，已知内角∠A＝，边BC＝2，设内角∠B＝x，面积为y．(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；(2)求y的最大值．参考答案1．答案：A2．解析：sinA＝sin75°＝sin(45°＋30°)＝．由a＝c＝＋，可知C＝75°，所以B＝30°．所以sinB＝．由正弦定理，得b＝＝＝2．答案：A3．解析：由2asinB＝b得2sinAsinB＝sinB，故sinA＝，故A＝或．又△ABC为锐角三角形，故A＝．答案：D4．解析：由题设条件可知a≠0，sinB≠0，从而两条直线的斜率分别是k1＝

4、－，k2＝．由正弦定理知＝，从而有k1k2＝－1，所以两直线垂直．答案：C5．解析：由正弦定理及已知条件对比发现sinB＝cosB，sinC＝cosC，故B＝C＝45°，A＝90°．所以该三角形为等腰直角三角形．答案：C6．答案：(1，2)7．解析：如图，设山高为CD，AB＝300米，∠ABD＝180°－(45°＋65°)＝70°．在△ABD中，AD＝＝300×sin70°×．在△ACD中，CD＝AD·tan30°≈230(米)．答案：2308．解析：令AB＝c，BC＝a，则由正弦定理得＝＝＝＝2，则c＝2sinC，a＝2sinA，且∠A＋∠C＝120°，故AB＋2BC＝c＋2

5、a＝2sinC＋4sinA＝2sinC＋4sin(120°－C)＝2sinC＋4＝4sinC＋2cosC＝2sin(C＋φ)．故当∠C＋φ＝90°时，AB＋2BC取最大值，为2．答案：29．分析：本题是三角函数与解三角形以及向量知识相结合的一道题目，由p∥q可得角C的正切值，进而求出角C；再由sinB＝cos2B，c＝3和正弦定理可求出a，b．解：(1)∵p∥q，∴＝．∴tanC＝．又∵∠C∈(0，π)，∴∠C＝．(2)∵sinB＝cos2B＝1－2sin2B，∴2sin2B＋sinB－1＝0．∴sinB＝或sinB＝－1(舍去)．∵∠B∈，∴∠B＝．∴∠A＝．由正弦定理，得b

6、＝＝＝，a＝＝2．10．解：(1)由正弦定理，得AC＝＝4sinx，∴y＝f(x)＝4sinx·sin，定义域为．(2)函数y＝f(x)＝4sinx·sin＝2sin2x＋6sinxcosx＝－cos2x＋3sin2x＝＋2sin．∵0