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《高三数学一轮复习资料 第十四编 系列4选讲14.1 矩阵与变换教案 理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高三数学（理）一轮复习教案第十四编系列4选讲总第69期§14.1矩阵与变换基础自测1.=.答案2.=.答案3.设a,b∈R,若矩阵A=把直线l：x+y-1=0变成为直线m:x-y-2=0，则a=，b=.答案2-14.先将平面图形作关于直线y=x的反射变换，再将它的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的三分之一，则整个变换可以用矩阵表示为.答案5.设A=，B=，若AB=BA，则k=.答案3例题精讲例1已知变换T把平面上的点A（2，0），B（3，1）分别变换成点A′(2,1),B′(3,2)，试求变换T对应的矩阵M.解设M=，则有M：
2、→=·==，解得；M：→=·==，解得综上，M=.例2已知O（0，0），A（2，1），O，A，B，C依逆时针方向构成正方形的四个顶点.（1）求B，C两点的坐标；（2）把正方形OABC绕点A按顺时针方向旋转45°得到正方形AB′C′O′，求B′，C′，O′三点的坐标.解（1）显然向量绕O点逆时针方向旋转90°得向量，变换矩阵M=.所以有=·=，即=（-1，2），C点坐标是（-1，2）.又=+=（2，1）+（-1，2）=（1，3），所以B点坐标是（1，3）.（2）变换矩阵是N=，=（-2，-1），=（-3，1），=（-1，2）.·=.
3、即=，=(-,2),AB′=∴=+=，点O′的坐标是（）,同理，点C′的坐标是(2-,1+2),点B′的坐标是.例3试从几何变换的角度求AB的逆矩阵.（1）A=，B=；（2）A=，B=.解（1）矩阵A对应的是伸压变换，它将平面内的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，因此它的逆矩阵是A-1=；同理，矩阵B对应的也是伸压变换，它将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的4倍，因此它的逆矩阵是B-1=；所以（AB）-1=B-1A-1=·=.（2）矩阵A对应的是反射变换，它将平面内的点变为该点关于直线x-y=0的对称点，所以
4、该变换的逆变换为其自身，A-1=；矩阵B对应的也是反射变换，它将平面内的点变换为与其关于原点对称的点，所以B-1=；所以，（AB）-1=B-1A-1==.例4（14分）已知二阶矩阵M有特征值=8及对应的一个特征向量e1=，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）.（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系.解（1）设M=，则=8=，故2分=，故4分联立以上两方程组解得a=6,b=2,c=4,d=4,故M=.6分（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（）=（-6）（-4）-8
5、=2-10+16，故其另一个特征值为=2.9分设矩阵M的另一个特征向量是e2=，则Me2==2，所以,12分所以矩阵M的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系是2x+y=0.14分巩固练习1.（2008·南京质检）二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）.（1）求矩阵M；（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m:x-y=4,求l的方程.解（1）设M=，则有=,=所以,且,解得，所以M=.（2）因为==且m：x′-y′=4,所以(x+2y)-(3x+4y)=4,整理得x+y+2=
6、0，所以直线l的方程为x+y+2=0.2.将双曲线C：x2-y2=1上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C′，试求C′的方程.解由题意，得旋转变换矩阵M==，任意选取双曲线x2-y2=1上的一点P（x0,y0），它在变换TM作用下变为P′(x′0,y′0),则有M=，故,∴，又因为点P在曲线x2-y2=1上，所以-=1,即有2=1.∴所求的C′方程为xy=.3.（2008·徐州模拟）已知M=.（1）求逆矩阵M-1；（2）若矩阵X满足MX=，试求矩阵X.解（1）设M-1=，依题意有=，即=，则∴∴M-1=.（2）∵矩阵X满足MX=
7、，∴矩阵X=M-1==.4.（2008·苏州信息卷）已知矩阵M=，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.解由=（-3）2-1=0，解得1=2,2=4.设矩阵M的特征向量为.当1=2时,由M=2可得,可见，1=是M的属于1=2的特征向量.当2=4时，由M=4可得,,可见，2=是M的属于2=4的特征向量.回顾总结知识方法思想课后作业一、填空题1.下列矩阵是二阶单位矩阵的是.①②③④答案①2.将圆x2+y2=1在矩阵A=对应的伸压变换下变成一个椭圆x2+=1，则a+b=.答案33.在矩阵对应的变换下，点A（2，1）将会转换成
8、 .答案（2，5）4.若直线x-y-4=0在矩阵M=对应的变换作用下，把自己变为自己，则a,b的值分别为.答案0，25.将点（2，4）先经矩阵变换后，再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐标为.答案（-8，2）6.将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸
