备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题53 圆锥曲线的取值范围问题

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1、专题53圆锥曲线的取值范围问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.圆锥曲线中最值与范

2、围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.1、解不等式：通过题目条件建

3、立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围①椭圆（以为例），则，②双曲线：（以为例），则（左支）（右支）③抛物线：（以为例，则（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程（3）点与椭圆（以为例）位置关系：若点在椭圆内，则（4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的

4、值域，即为参数取值范围（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：①二次函数；②“对勾函数”；③反比例函数；④分式函数。若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关

5、系，进而求得值域（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可【经典例题】例1.【2018届河南省南阳市第一中学第十八次考】已知为双曲线上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点，交轴于点，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B考查双曲线的一条渐近线方程令x=0，得，令y=0得考查双曲线的另一条渐近线方程令x=0，得，令y=0得据此有恒成立，则恒成立，，则即可得故选B.例2.【2

6、018届湖南省长沙市长郡中学模拟二】已知椭圆：与过原点的直线交于、两点，右焦点为，，若的面积为，则椭圆的焦距的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B∵AF+AF1=2a，∴AF+BF=2a，∵S△ABF=AF•BF•sin120°=AF•BF=4，∴AF•BF=16，∴a2=3c2+c2=4c2，∴2c=a，∴2c≥4．故选：B．点睛：：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.例3.【2018届山东省日照市校际联考】已

7、知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，点在第一象限，，为坐标原点，则四边形面积的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系表示四边形面积，借助导函数求最值即可.详解：设且,易知，设直线由所以易知在上为减函数，所以当时，,故选：B.例4.【2018届河北省唐山市三模】已知是抛物线上任意一点，是圆上任意一点，则的最小值为（）A.B.3C.D.【答案】D，，是圆上任意一点，的最小值为，故选D.例5.【2018届安徽省安庆市第一中学热身】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心

8、率分别为，则的取值范围是