备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题48 圆锥曲线的几何性质

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1、专题48圆锥曲线的几何性质【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等.高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系

2、数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.命题以小题为主，多为选择题或填空题.高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明圆锥

3、曲线的几何性质有关问题的解法与技巧，离心率问题在下一专题讲述.（一）椭圆：1、定义和标准方程：（1）平面上到两个定点的距离和为定值（定值大于）的点的轨迹称为椭圆，其中称为椭圆的焦点，称为椭圆的焦距（2）标准方程：①焦点在轴上的椭圆：设椭圆上一点，，设距离和，则椭圆的标准方程为：，其中②焦点在轴上的椭圆：设椭圆上一点，，设距离和，则椭圆的标准方程为：，其中焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大2、椭圆的性质：以焦点在轴的椭圆为例：（1）：与长轴的顶点有关：，称为长轴长：与短轴的顶点有关：，称为短轴长：与焦点有关：，称为焦距（2）对

4、称性：椭圆关于轴，轴对称，且关于原点中心对称（3）椭圆上点的坐标范围：设，则（4）通径：焦点弦长的最小值①焦点弦：椭圆中过焦点的弦②过焦点且与长轴垂直的弦说明：假设过，且与长轴垂直，则，所以，可得.则（5）离心率：，因为，所以（6）焦半径公式：称到焦点的距离为椭圆的焦半径①设椭圆上一点，则（可记为“左加右减”）②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为，最小值为（7）焦点三角形面积：（其中）证明：且因为，所以，由此得到的推论：①的大小与之间可相互求出②的最大值：最大最大最大为短轴顶点（二）双曲线：1、定义：平面上到两个定点距离差

5、的绝对值为一个常数（小于）的点的轨迹称为双曲线，其中称为椭圆的焦点，称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支2、标准方程：①焦点在轴：设双曲线上一点，，设距离差的绝对值，则双曲线标准方程为：，其中②焦点在轴：设双曲线上一点，，设距离差的绝对值，则双曲线标准方程为：，其中焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数2、双曲线的性质：以焦点在轴的双曲线为例：（1）：与实轴的顶点有关：，称为实轴长：与虚轴的顶点有关：，称为虚轴长：与焦点有关：，称为焦距（2）对称性：双曲线关于轴，轴对称，且关于原点中心对称（3）双曲线上

6、点坐标的范围：设，则有或，（4）离心率：，因为，所以（5）渐近线：当或时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线.①双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出关于的直线即可.例如在中，求渐近线即解：，变形为，所以即为双曲线的渐近线②渐近线的几何特点：直线所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线③渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现的关系.（6）通径：①内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段②

7、通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦轴，（7）焦半径公式：设双曲线上一点，左右焦点分别为，则①（可记为“左加右减”）②由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为（8）焦点三角形面积：设双曲线上一点，则（其中）（三）抛物线：1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为抛物线2、抛物线的标准方程及焦点位置：（1）焦点在轴正半轴：，焦点坐标（2）焦点在轴负半轴：，焦点坐标（3）焦点在轴正半轴：，焦点坐标（4）焦点在轴负半轴：，焦点坐标小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐

8、标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其坐标为一次项系数除以4，例如：，则焦点在轴上，且坐标为3、焦半径公式：设抛物线的焦点为，，则4、焦点弦长：设过抛物线焦点的直线与抛物线交于，则（，再由焦半径公式即可