备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题49 离心率及其范围问题

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1、专题49离心率及其范围问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线离心率问题是热点之一.从命题的类型看，有小题，也有大题.一把说来，小题大难度基本处于中低档，而大题中则往往较为简单.小题中单纯考查椭圆、双曲线的离心率的确定较为简单，而将三种曲线结合考查，难度则大些.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明离心率及其范围问题的解法与技巧.1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形

2、三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距.从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲

3、线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：【经典例题】例1.【2017课标3，理10】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e＝；x/k**w②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).例2.【2017课标II，理

4、9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A．2B．C．D．【答案】A【解析】例3.【2018届山东省济南省二模】设椭圆的左、右焦点分别为,点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为,则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A∴故选：A例4.【2018届云南省昆明第一中学第八次月考】已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线底面右顶点，点是双曲线上一点，平分，且，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D例5.【2017课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠

5、MAN=60°，则C的离心率为________.【答案】【解析】试题分析：例6.【2018届重庆市江津中学校4月月考】如图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，为双曲线的顶点，为双曲线虚轴的端点，为右焦点，延长与交于点，若是锐角，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：根据∠B1PB2为与夹角，并分别表示出与，由∠B1PB2为钝角，.＜0，得ac﹣b2＜0，利用椭圆的性质，可得到e2-e﹣1>0，即可解得离心率的取值范围．详解：如图所示，∠B1PB2为与的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，=（a，b），=（c，﹣b），∴1＜e＜，故选：

6、C．点睛：本题主要考查双曲线的定义及几何性质，以双曲线为载体，通过利用导数研究的单调性，考查逻辑思维能力、运算能力以及数形结合思想．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．例7.已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是（）A.B.C.2D.3【答案】A【解析】化简得：该式可变成：,故选点睛：本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出与、的数量关系，然后再利用余弦定理

7、求出与的数量关系，最后利用基本不等式求得范围.例8.【2018届福建省漳州市5月测试】已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：先根据直线的方程判定该直线过定点，且该点是圆的圆心，再利用判定点是线段的中点，再利用点差法进行求解．详解：将化为，即直线恒过定点，且该点为圆的圆心，由，得是的中点，点睛：1.判定直线过定点的方