备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展练习：专题49离心率及其范围问题

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1、专题49离心率及其范围问题【热点聚焦与扩展】纵观近儿年的高考试题，高考对圆锥曲线离心率问题是热点Z—.从命题的类型看，有小题，也有大题.一把说来，小题大难度基本处于中低档，而大题中则往往饺为简单.小题中单纯考查椭圆、双曲线的离心率的确定较为简单，而将三种曲线结合考查，难度则大些.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明离心率及其范围问题的解法与技巧.1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数a^c的比例关系（只需找111其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形

2、（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形）,那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与d有关，另一条边为焦距.从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目屮的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a,b,c进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目屮某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用a,b,c表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题冃中有一个核心变量，则可以考

3、虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时耍注意圆锥曲线中对离心率范圉的初始要求：椭圆：ww（O,l）,双曲线：ee（l,+oo）【经典例题】例1.【2017课标3,理10】己知椭圆C：227+^=1,（a>b>0）的左、右顶点分别为Ai,A2,且以线段AA为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）V6•3【答案】A【解析】2ab试题分析：以线段44为直径的圆的圆心为坐标原点（0,0）,半径为r=a?圆的方程为x2+y2=«2

4、直线勿c-刪+血=0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：d=整理可得/=3沪，即/=3（/-止）2/=*,从而/=三.=£、椭圆的离心率e=—=j^=~T~fa3a3故选4点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求岀a,c,代入公式e=£；x/k**wa②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式（不等式）两边分别除以a或a?转化为关于e的方程（不等式）,解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.例2.[2017课标H,理

5、9】若双曲线C：二=1（a〉0,b〉0）的一条渐近线被圆crlr（x-2）2+/=4所截得的眩长为2,则C的离心率为（）A.2B.V3C.>/22^33【答案】A【解析】22bx+ay=0?试题分析：由几何关系可得，双曲线与-書=1(20上>0)的渐近线为:abJ心(2,0)到渐近线距离为：&=护壬=屁不妨考查点(2,0)到直线bx+ay=0的距离:d=巴「绊=—=^?佃+戻c即：整理可得：严迅双曲线的离心率£==苗=2。故选Aoxy,C:—^+—l(a>0力>0)例3.[2018届山东省济南省二模】设椭圆ab的左.右焦点分别为2,点E(O

6、,t)(O

7、PE

8、+2a-

9、卩片

10、+

11、踰结合三点共线时,最小值为TEFJ,再利用对称性，可得椭圆的离心率.详解：APEF2的周长为IPEI4-PF2+EF21=

12、PE

13、+2a_I昭I+EF2=2a4-

14、4-

15、PE

16、一

17、昭

18、>2s+

19、E片

20、—

21、E片

22、=2a=4b,x2y2C:———=l（a>0,b>0）例4.[2018届云南省昆明第一中学

23、第八次月考】已知双曲线«b的左、右焦点分别为耳巴，点力是双曲线C底而右顶点，点M是双曲线C上一点，AM平分旳卩2,sMF1:MF2=2:lf则双曲线的离心率为（）A.V2b.①C.2D.3【答案】D【解析】分析：由题意,根据M砰分厶则,得到iMFjdMf-1=

24、XF21=2:1,再由F1A=a+eAAF2=c-a,列出方程，即可求解双曲线的离心率.详解:由题意,因为闷平分凸砖,所以iMFjdMFj=IMI：MF21=2：1,又因为I片卫1=口+&

25、4片

26、=c-a?所以=乙解得忙=所以£=3〉故选D・例5.【2017课标1,理】

27、己知双曲线C：斗-斗=1（a〉0,b〉0）的右顶点为A,以A为圆a2b2心，b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于队"两点.若ZMAN=60°,则C的离心率为.【答案叶如