备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题08 函数的最值与值域的妙解

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1、专题08函数的最值与值域的妙解考纲要求:1、考查求函数单调性和最值的基本方法；求函数值域或最值．常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法．2、会求一些简单函数的定义域和值域.基础知识回顾:函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；①对于任意x∈I，都有f(x)≥m；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M②存在x0∈I，使得f(x0)＝m.结论M为最大值m为最小值应用举例:招数一：换元法与配方法【例1】【2017山东省枣庄八中高三月考】函数f(x)＝log2

2、·的最小值为______．【答案】－【例2】【2017浙江省宁波市高三入学考试】求函数y＝x－的值域。【答案】{y

3、y≤}．【解析】令＝t，则t≥0且x＝，于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是{y

4、y≤}．【例3】函数的值域为()A.B.C.D.【答案】C招数二：图像法【例4】.【2017届山西省实验中学高三3月联考】设函数函数若存在唯一的，使得的最小值为，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】作出函数的图象，可得的最小值为0，最大值为2；，当且仅当取得最小值，由存在唯一的，使得

5、的值为，可得，解得，故选A．【例5】【2017福建省福州市高三模拟考试】设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，，则f(x)的值域是(　　)A.∪(1，＋∞)B．[0，＋∞)C.D.∪(2，＋∞)【答案】C【解析】由x＜g(x)可得x＜－1或x＞2，由x≥g(x)，即－1≤x≤2时，∴，如图，由f(x)得图像可得：当x＜－1或x＞2时，f(x)＞2；当－1≤x≤2时，＜f(x)≤f(2)⇔≤f(x)≤0，所以f(x)的域为∪(2，＋∞)，故选D.招数三：基本不等式法【例6】【2017浙江省金华、丽水、衢州市十二校联考】设，若定义域为的

6、函数，满足，则的最大值为__________．【答案】.【解析】设，∴，显然，当取到最大值时，，∴，∴，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故填：.【名师点睛】一是在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘.【例7】【2017河北省武安一中高三月考】求函数的值域.【答案】(－∞，－3]∪[1，＋∞)．招数四：单调性法【例8】设，则函数的最小值是______．【答案】【解析】令则.该函数是上的增函数,则.【例9】函数f(x)＝lnx－x在区间(0

7、，e]上的最大值为(　　)A．1－eB．－1C．－eD．0【答案B【解析】因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln1－1＝－1.【例10】【2017山东烟台市高三摸底考试】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．【答案】－2.【解析】任取x1，x2∈(0，＋∞)

8、，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)0，x>0)，(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．【答案】（

9、1）略；（2）a＝.招数五：导数法【例12】函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有

10、f(x1)－f(x2)

11、≤t，则实数t的最小值是(　　)A．20B．18C．3D．0【答案】A【解析】因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t，

12、从而t≥20，所以t的最小值是20.【例13】【三湘名校教育联盟.2017届高三第三次大联考】已知函数在上的最大值为3，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】在上的最大值为3对恒成立且取到等号，因为，所以只需考虑对恒成立，,即时，