ch9多元函数的微分及其应用

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1、知识点十一二元函数的极限方法：1.可套用一元函数求极限的各种方法方法，但不能套用罗必达法则。2.证明极限不存在时，需采用不同路径逼近，一般采用直线方向，不同表示不同方向；需要时，也可沿其它曲线路径。典型例题：1.求极限解：2.求极限解：3．求极限解：4．求证函数当时，极限不存在。证明：沿直线方向考察，，其值随k的不同而变化。所以极限不存在。5．证明证明：，而，根据夹逼准则有典型练习1．2．3．4．5．6．7．知识点十二偏导数求法：求时，只要把之外的其他自变量暂时看成常量，对求导数即可。求时，只要把之外的其他自变量暂时看成常量，对求导数即可。其他类推。分片函数在分界点的偏导数：

2、严格用定义求。典型例题：1.求在点处的偏导数解：，。，2．设，求证解：对是幂函数，对是指数函数，所以，3．设，求。解：先求，当时，即且时，在点，所以，同理4．验证函数满足拉普拉斯方程证明：，，同样可求，所以典型练习（以教材中的练习为主）1.设，则。。2．求下列函数的一阶偏导数。（1）（2）（3）（4）（5）.（6）3.设，求证：4.求下列函数的二阶偏导数。（1）（2）知识点十三全微分内容：1.定义：如果函数在点的全增量可以表示为，其中不依赖于而仅与有关，，则称函数在点可微分，称为函数在点的全微分，记为，即。2.可微的必要条件：如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必存在，

3、且函数在点的全微分为，或。3.可微的充分条件：如果的偏导数、在点连续，则该函数在点可微分。函数可微具有连续偏导函数连续偏导存在4.可微、可导、连续的关系5．全微分的求法：典型例题：1.计算函数在点处的全微分。解：，所以，在处的全微分。2．求函数，当、，，时的全微分。解：，3．试证函数(1)在点连续且偏导数存在；(2)在点不可微.证明：（1）因为所以在点连续；，，即，函数在点偏导数存在。（2）如果考虑点沿着直线趋近于，则即，所以在点不可微。典型练习（以教材中的练习为主）1．设，则。2．设，则。3．设讨论在（1）.偏导数是否存在。（2）.是否可微。知识点十四多元复合函数的偏导数公

4、式：多元复合函数的偏导公式根据复合过程的不同有不同的形式，关键在于搞清变量（函数、中间变量、自变量）间的关系，作出示意图，根据口诀“连线相乘、分线相加”写出公式。形式1：为函数，为中间变量，为自变量形式2：为函数，为中间变量，为自变量形式1：为函数，为中间变量，为自变量公式1：，公式2：，（只有一个自变量的导数，又称为全导数）公式3：特别注意：抽象的多元复合函数的高阶偏导的计算过程中，对复合函数，[，]，对中间变量（）的偏导数仍是以为中间变量的复合函数。典型例题：1．设，而，，求和.解：2．设，而，，求全导数.ztuvt解：3．设，而，求.zuxyxy解：zuxy4．，且具有

5、一阶导数，求。解：令，则wuvxyz5.设，具有二阶连续偏导数，求和。解：令，，则，记，，，，uvxyz，而，所以典型练习（以教材中的练习为主）1．求下列复合函数的各个一阶偏导或全导数：（1），而（2），而（3），而（4），而2．设为二元可微函数，，则3．〖2011（1）〗设函数，则4．〖2009（1）〗设函数具有二阶连续偏导数，，则5．〖2005（1）〗设函数,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有【】(A)；（B）；(C)；(D)6．求下列函数的各个二阶偏导数（1），（2）7．〖2011（1）〗设函数，其中函数具有二阶连续导数，函数可导且在处取得极值，求知识点十五隐函

6、数的偏导数公式：1．一个二元方程情形：确定一个一元隐函数2．一个三元方程情形：确定一个二元隐函数，3．两个四元方程情形：确定两个二元隐函数，；，。对于此公式，不应死记硬背。按照推导公式的过程求解：两个方程两边对求偏导，得到的二元代数方程，解得；然后两个方程两边对求偏导，得到的二元代数方程，解得。典型例题：1．已知，求解：令，则，所以。2．设，求.解：令，则，，3．〖2010（1）〗函数由确定，，可微，则(A)；(B)；(C)；(D)解：，，，，，，故选(B)。4．设，求解：两个三元方程可确定两个一元隐函数，在此是两个方程两边对求偏导，得典型练习（以教材中的练习为主）1．由方程

7、确定的函数，在点处的全微分。2．设，则+=。3．设，其中可微，则=。4．，求5．设，求，；，知识点十六空间曲线的切线方程与曲面的切平面方程内容：（一）空间曲线的切线关键是方向向量：（1）曲线方程为参数方程，，则在点，，（2）曲线方程为一般方程，可确定两个一元隐函数，曲线可表示为参数方程，则再点，（二）曲面的切线关键是法向量：（1）曲线方程为，则在点，。（2）曲线方程为，则在点，（3）若假定法向量的方向是向上的，则其方向余弦为下面这点很重要：曲面在点的切平面上面积为的一块区域，在平面上的投影面积为：。典型