高三数学二轮复习 专题8 等差数列 等比数列导学案

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1、专题8：等差数列、等比数列(两课时)班级姓名一、课前测试1．(1)已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n∈N*且n≥2)，令bn＝，求证：数列{bn}是等差数列．提示：用等差数列的定义来证，即证bn－bn－1＝(常数)(2)数列{an}前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，令bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列.提示：先利用数列的前n项和与通项an之间的关系,找到数列的递推关系；再用等比数列的定义来证．即由an＋Sn＝n，得an－1＋Sn－1＝n－1，两式相减得2an－an－1＝1即2bn＝bn－1．从而有＝(常数)2．已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*

2、且n≥2)，a1＝2，令bn＝(an＋t)(n∈N*)，否存在一个实数t，使得数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．答案：存在实数t＝1，使得数列{bn}为等差数列．3．(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3与S4的等差中项为1，而S3与S4的等比中项是S5，则an＝．(2)已知在等比数列{an}中，a3＝2，a2＋a4＝，则an＝．答案：(1)an＝1或an＝－n＋；(2)an＝2×3n－3或an＝2×()n－3．4．(1)设在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求＝；＝．(2)若两个等差数列{an}和{bn}

3、的前n项之和分别是Sn、Tn，已知＝，则＝．(3)已知一个等比数列的前10项和为10，前20项和为30，则前50项的和为．答案：(1)n＝6，q＝2或；(2)；(3)310．5．(1)已知{an}是等差数列，若a1＝20，公差d＝－2，求数列前n项和Sn的最大值．(2)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是．①d＜0；②a7＝0；③S9＞S5；④S6和S7均为Sn的最大值.答案：(1)当且仅当n＝10或11时，Sn取得最大值110．(2)①②④二、方法联想1．等差、等比数列的证明方法证明数列是等差数列：方法1定义法，即当n∈N*时

4、，an＋1－an为同一常数．方法2中项公式法，即当n∈N*时，2an＋1＝an＋an＋2均成立，其推广形式为：2an＝an－m＋an＋m．方法证明数列是等比数列：方法1定义法，即当n∈N*时，为同一常数．方法2中项公式法，即当n∈N*时，an＋12＝anan＋2均成立，其推广形式为：an2＝an－m＋an＋m．2．等差、等比数列的判断判断数列是等差数列方法1定义法，即当n≥1且n∈N*时，an＋1－an为同一常数．方法2中项公式法，即当n≥1且n∈N*时，2an＋1＝an＋an＋2均成立．方法3特殊值法，如前3项成等差，再证明其对任意n∈N*成等差数列．方法4通项为一次形式，即an＝a

5、n＋b．方法5前n项和为不含常数项的二次形式，即Sn＝an2＋bn．方法6若数列{an}为等比数列，则{logaan}为等差数列．注意方法4、5、6只能做为判断，作为解答题需要证明．判断数列不是等差数列方法通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等差数列．判断数列是等比数列方法1定义法，即当n∈N*时，为同一常数．方法2中项公式法，即当n∈N*时，an＋12＝anan＋2均成立．方法3特殊值法，如前3项成等比，再证明其对任意n∈N*成等比数列．方法4通项公式为指数幂形式，即an＝aqn．方法5若数列{an}为等差数列，则{aan}为等比数列．注意方法4、5只能做为判断，作为解答题需要证明．

6、判断数列不是等比数列方法通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等比数列．3．基本量运算基本量法：等差、等比数列中，五个元素a，q，n，an，Sn中四个量可以建立关系式，如知三求二．4．性质的应用方法(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q则am＋an＝ap＋aq．特别若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q则aman＝apaq．特别若m＋n＝2p，则am＋an＝ap2．(2)在等差数列{an}中，由Sn＝得，若n为奇数，则Sn＝na．方法在等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．在等比数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S

7、3n－S2n成等差数列．5．等差数列Sn的最值问题方法在等差数列{an}中Sn的最值问题：方法1：(1)当a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sm取最大值.(2)当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sm取最小值，方法2：由Sn的解析式，结合二次函数图象分析．三、例题分析【第一层次】例1已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2a3＝45，S4＝28．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设由bn＝(c≠0)构成的新数列{