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《高中数学 13《函数的值域》学案 苏教版必修1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第13课时函数的值域【学习目标】1．掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、图像法、部分分式法、判别式法）；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法．2．培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力．【课前导学】一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为{x
2、x0}，值域为{y
3、y0}；二次函数的定义域为R，当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.前面我们已经学习了函数定义域的求法和函数的表示法，今天我们来学习求函数值域的几种常见方法【课堂活动】一．建构数学：1．直
4、接法：利用常见函数的值域来求．例1求下列函数的值域：①y=3x+2(-1x1)②③④解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]．②∵∴即函数的值域是{y
5、y2}【变式】y＝？解：令t＝－x2＋2x＋3，则：y＝且t∈[0，4]∴所求函数的值域为：[0，2]③∵∴即函数的值域是{y
6、yÎR且y¹1}（此法亦称分离常数法）④当x>0，∴=，当x<0时，=－∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）函数的图像为：如右图所示2．二次函数闭区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值．最小值与值域：①；②；
7、③；④．解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y
8、y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，如图，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=－3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，=－3，=6；值域为[-3，6]
9、.【解后反思】对于二次函数,⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当时，其最小值；②当a<0时，则当时，其最大值.⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.【提醒】①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.【深化】⑤；⑥？3．换元法
10、例3求函数的值域．解：设则t0x=1-代入得∵t0∴y4【变式】求y＝2x－3＋的值域．分析：函数问题，应优先考虑函数的定义域，再求其值域.解：∵4x－13≥0∴x∈[，＋∞）令t＝则得：x＝∴y＝t2＋t＋∴y＝（t＋1）2＋3∵x≥∴t≥0根据二次函数图象可得y∈[，＋∞）【解后反思】1．本题还可用单调性法2．对于形如型的函数，常用此换元法．4．图像法：例4．求函数y=
11、x+1
12、+
13、x-2
14、的值域．解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y
15、y3}.解法2：∵函数y=
16、x+1
17、+
18、x-2
19、
20、表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+.如图【反思】两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.【说明】以上是求函数值域常用的一些方法（观察法．配方法．判别式法．图象法．换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法．三角代换法等．有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.【变式1】求函数y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域.【思路分析】对于y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的理
21、解，从几何意义入手，即利用绝对值的几何意义可知，｜x＋1｜表示在数轴上表示x的点到点－1的距离，｜x－2｜表示在数轴上表示x的点到点2的距离，在数轴上任取三个点xA≤－1，－1＜xB＜2，xC≥c，如图所示，可以看出｜xA＋1｜－｜xA－2｜＝－3，－3＜｜xB＋1｜－｜xB－2｜＜3，｜xC＋1｜－｜xC－2｜＝3，由此可知，对于任意实数x，都有－3≤｜x＋1｜－｜x－2｜≤3，所以函数y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域为y∈[－3，3]．【变式2】求下列函数的值域：（1）y＝；（2）y＝5．分离常数法：例5求下列函数的值域：（1）y
22、＝；（2）y＝解：（1）∵y＝＝2－∴函数的值域为{y︱y≠2}（2）∵y＝－＋∵≠0∴y≠－∴函数y的值域为y∈（－∞，－）∪（－，＋∞）6．判别式法（△法）：例6求函数y=值域．解：∵，∴函数的定义域R，原式可化为,
