高中数学 1.2 应用举例（1）学案 新人教a版必修5

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1、1．2应用举例1【学习目标】1．能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；2．分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念。3．将实际问题转化为解三角形问题【知识梳理】1．仰角、俯角、方位角、视角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角；方位角指从正北方向顺时针转到目标方向的水平角。观察物体时，从物体两端(上、下或左、右)引出的光线在人眼光心处所成的夹角叫视角。2．坡度——通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示。3．解三角形的实际问题的常见题型测量距离问题、测量高度问题、测量角

2、度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等。【范例分析】例1．（1）平地上有甲乙两楼，甲楼高15米．已知从甲楼顶测得乙楼底的俯角为30°，又测得乙楼顶的仰角为15°．则乙楼的高是_________米（15°=0.2679，精确到0.01）（2）为了测量上海东方明珠的高度，某人站在A处测得塔尖的仰角为，前进38.5m后，到达B处测得塔尖的仰角为.试计算东方明珠塔的高度（精确到1m）.例2．（1）某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是（2）一船以每小时15

3、km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶４h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为km．例3．某观察站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，距C处31千米的公路上的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD距离为21千米，问此人还需走多少千米才能到达A城？例4．隔河看两目标A和B，但不能到达，在岸边选取相距千米的C、D两点，测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面内），求之间的距离。【规律总结】运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：①

4、分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解；④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。【基础训练】一、选择题1．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长A．1公里B．sin10°公里C．cos10°公里D．cos20°公里2．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是（

5、）A.10海里B.海里C.5海里D.5海里3．甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）A．分钟B．分钟C．21.5分钟D．2.15分钟4．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为（）A.B.C.D.不能确定大小5．如图，D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、a（a＜β），

6、则A点离地面的高AB等于（）A.B.C.D.二、填空题6．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为。7．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，则货轮的速度为8有一广告气球直径为6米，放在公司大楼上空（如图），当某行人在A地观测气球时，其中心仰角为∠BAC=30°，并测得气球的视角β=2°，若θ很小时，可取sinθ=θ，试估计气球的高BC的值约为米三、解答题9．如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于

7、甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?10．如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45°，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度q的余弦值【选做题】11．两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km),灯塔A在C北偏东30°,