高三数学 教案29抛物线综合复习

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1、一.教学内容：抛物线综合复习【典型例题】[例1]抛物线方程为（），直线与轴的交点在抛物线的准线的右边。（1）求证：直线与抛物线总有两个交点。（2）设直线与抛物线的交点为、，，求关于的函数的表达式。（3）在（）的条件下，若抛物线焦点到直线的距离为，求此直线的方程。（97.上海）解：（1）准线，直线与轴的交点为（），则，即。由，而又，及则，得证。（2）设，，则，，由即又、为直线上的点则，于是即即（由）（3）抛物线的焦点于是又，则，，，但且，因而舍去、、故所求直线方程为。[例2]若抛物线（）总存在不同两点关于直线上的点对称（1）求的集合。（2）当点处于何位置时，两对称点以及坐标原点组成

2、的三角形面积最大，并求此最大值。解：（1）设抛物线上的两点为，则，，两式相减得即即由在抛物线内部（*）则（或，也可利用下述方法求：：即由）故的坐标满足即满足，，集合（2），，（利用弦长公式）则。当，即时，，。[例3]已知直线过坐标原点，抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，若点和，关于的对称点都在上，求直线和抛物线的方程。（94全国）解法一：设抛物线方程为（），依题意，直线不是轴、轴设直线的方程为（），设、分别是点、关于直线的对称点，则，直线的方程为。由，由点为的中点，则同理可求得由点、在抛物线上，其坐标满足方程，当时，不合题意故，直线：，由（由）故抛物线：解法二：设以为终边的最

3、小正角为，则以为终边的角为，于是，故于是，所以则的方程为的倾斜角为则方程[例4]设抛物线过定点，且以轴为准线，（1）试求抛物线顶点的轨迹的方程。（2）若点不在线段（）上，那么取何值时，过点存在一对相互垂直的直线同时与曲线有公共点。解：（1）设抛物线顶点，其中，由抛物线以轴为准线则焦点，抛物线过定点由抛物线定义有化简整理得抛物线顶点的轨迹的方程为（）（即不含原点）（2）设过点的直线的方程为由消去并整理得与有公共点若过点存在一对相互垂直的直线同时与曲线有公共点，则有解即有解，由不在线段（）上，则，故，从而故故当或时，过存在一对相互垂直的直线与曲线有公共点。[例5]抛物线（）的准线和焦

4、点分别是椭圆的左准线和左焦点，直线和椭圆、抛物线在第一象限交于点A和点B，已知A是OB中点，（1）求椭圆的离心率。（2）若椭圆过点，求椭圆和抛物线方程（3）设椭圆短轴上端点为，求的轨迹方程。解：（1）由（负舍）则，而为中点，则由抛物线准线方程，又抛物线与椭圆有相同的左焦点和右准线故椭圆离心率为（2）设椭圆方程为，把代入得，而，则又所求椭圆方程为又，所以抛物线方程为（3）椭圆上端点为，则又，则故又由，则椭圆短轴上端点轨迹方程为（）【模拟试题】1.若AB为抛物线（）的焦点弦，是抛物线的准线，则以AB为直径的圆与的公共点的个数是（）A.0B.1C.2D.0或1或22.若抛物线的准线与双

5、曲线的右准线重合，则的值为（）A.－2B.4C.－8D.23.抛物线（）上一点，M到焦点的距离为，那么M点到轴的距离为。4.若，则方程的解的个数是。5.已知抛物线与圆至少有一个公共点，则的取值范围6.已知直线的方程为（），椭圆的中心为，焦点在轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的一个顶点为，问在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线的距离。【试题答案】1.B，相切2.B由3.准线即，即为轴。4.由5.把代入有曲线至少有一个公共点至少有一个非负解，即或或或故6.解：椭圆方程为①依题意椭圆上四个点的坐标都满足方程①且满足抛物线方程因此椭圆上四

6、个点符合题意方程①、②组成的方程组有4个不同的实数解，把②代入①并整理得③方程组有4个不同的实数解③有两个不相等的正实根，即在的条件下，解之得。