2016高考数学二轮复习 专题9 思想方法专题 第二讲 数形结合思想 理

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1、专题九　思想方法专题第二讲　数形结合思想数形结合的数学思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化．它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线

2、的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参数，合理用参数，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．数形结合思想应用广泛，高考试题对数形结合的考查主要涉及：1．集合及其运算问题(韦恩图与数轴)．2．用函数图象解决有关问题(如方程、不等式、函数的有关性质等)．3．运用向量解决有关问题．4．三角函数的图象及其应用问题．5．解析几何、立体几何中的数形结合问题．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝

3、f(x)

4、与y＝f(

5、x

6、)的图象相同．(×)(2)函数y＝af(x)与y

7、＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(×)(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(×)(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(√)(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．(×)　　　　　　　　　　　1．(2015·沈阳三模)对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的零点恰有两个，则实数c的取值范围是(B)A.∪B.∪C.∪D.∪解析：由题意得f(x)＝由y＝f(x)－c的零点恰有两个，即方程

8、f(x)＝c恰有两根，也就是函数y＝f(x)的图象与函数y＝c的图象有两个交点，如图所示，满足条件的c为(－∞，－2]∪.2．方程sin＝x的实数解的个数是(B)A．2B．3C．4D．以上均不对解析：在同一坐标系内作出y1＝sin与y2＝x的图象(如下图所示)．3．(2015·新课标Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(B)解析：当x∈[0，]时，f(x)＝tanx＋，图象不会是直线段，从而排除A，C.当x∈[，]时，f()＝f()＝

9、1＋，f()＝2.∵2＜1＋，∴f()＜f()＝f()，从而排除D，故选B.4．(2014·江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝，若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是．解析：作出函数f(x)＝，x∈[0，3)的图象，可见f(0)＝，当x＝1时，f(x)极大＝，f(3)＝，方程f(x)－a＝0在x∈[－3，4]上有10个零点，即函数y＝f(x)和图象与直线y＝a在[－3，4]上有10个交点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线y＝a与函数f(x)＝，x∈[0，3)的应该是4个交点，则有a∈.一、

10、选择题1．已知0＜a＜1，则方程a

11、x

12、＝

13、logax

14、的实根个数为(B)A．1个　　　　　　　　B．2个C．3个D．1个或2个或3个解析：判断方程的根的个数就是判断图象y＝a

15、x

16、与y＝

17、logax

18、的交点个数，画出两个函数图象(如图所示)，易知两图象只有2个交点，故方程有2个实根．2．(2015·安徽卷)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是(C)A．a>0，b<0，c>0，d>0　　B．a>0，b<0，c<0，d>0C．a<0，b<0，c<0，d>0　　D．a>0，b>0，c>0，d<03．定义在R上的偶函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，

19、当x∈[3，4]时，f(x)＝x－2，则(C)A．f＜f　B．f＞fC．f(sin1)＜f(cos1)　　　D．f＞f解析：由f(x)＝f(x＋2)知T＝2为f(x)的一个周期，设x∈[－1，0]，知x＋4∈[3，4]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4－2＝x＋2，画出函数f(x)的图象，如图所示：A：sin＜cos⇒f＞f；B：sin＞cos⇒f＜f；C：sin1＞cos1⇒f(sin1)＜f(cos1)；D：sin＞cos⇒f＜f