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《高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的直角坐标运算课堂探究学案新人教b版选修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.4空间向量的直角坐标运算课堂探究探究一空间向量的坐标运算解决空间向量的坐标运算问题，首先要正确记忆空间向量的直角坐标运算公式，其次要结合向量的运算法则，先化简，再代入坐标运算．【典型例题1】已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求：(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．思路分析：利用空间向量的直角坐标运算求解．解：(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)．(2)a－b＝(2，－1，－2)
2、－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)．(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.(4)方法1：2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.方法2：2a·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14.(5)(a＋b)·(a－b)＝a·a－b·b＝
3、a
4、2－
5、b
6、2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.探究二空间向量的平行与垂直问题要熟练掌握向量平行和垂直的条件，借助此条件可将立体
7、几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时要分类讨论．【典型例题2】设向量a＝(1，x,1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下列条件时，实数x的值．(1)a∥b；(2)a⊥b.思路分析：解答本题可先由a∥b，a⊥b分别建立关于x的方程，再解方程即可．解：(1)①当x＝0时，a＝(1,0,1)，b＝(1,0,1)，a＝b，满足a∥b.②当x＝1时，a＝(1,1,0)，b＝(0，－3,2)，不满足a∥b，∴x≠1.③当x≠0，x≠1时，a∥b
8、＝＝x＝2.综上所述，当x＝0，或x＝2时，a∥b.(2)a⊥ba·b＝0，∴(1，x,1－x)·(1－x2，－3x，x＋1)＝01－x2－3x2＋1－x2＝0，解得x＝±.∴当x＝±时，a⊥b.探究三空间向量的夹角及长度公式的应用空间向量的夹角及长度公式除直接应用在向量的计算中外，经常利用其求异面直线所成的角以及线段的长度，通过应用向量的坐标运算使立体几何中复杂的角与距离的计算简单化．【典型例题3】已知点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)求以，为边的平行四边形的面积；(2)若
9、a
10、＝，且a分别
11、与，垂直，求向量a.思路分析：(1)由公式S＝absinθ(θ为a，b边的夹角)知，需首先求出与的夹角．(2)向量a由横坐标、纵坐标、竖坐标的值确定，这就需要找到三个方程列出方程组求得a.解：(1)＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，设θ为，的夹角，则cosθ＝＝＝，∴sinθ＝.∴S＝
12、
13、
14、
15、sinθ＝7.∴以，为边的平行四边形面积为7.(2)设a＝(x，y，z)，由题意，得解得或∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．探究四易错辨析易错点 忽视参数的取值范围【典型例题4】已知关于x的方程x2－(t－2)x＋
16、t2＋3t＋5＝0有两个实根，a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb.(1)当
17、c
18、取最小值时，求t的值；(2)在(1)的情况下，求b和c的夹角的余弦值．错解：(1)c＝(－1,1,3)＋t(1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t)，
19、c
20、＝＝＝，所以当t＝时，
21、c
22、的最小值为.(2)当t＝时，c＝，所以cos〈b，c〉＝＝＝0，即b和c的夹角的余弦值为0.错因分析：(1)题设中关于x的方程有两实根，应考虑t的限制，而不是t∈R.(2)向量夹角和直线夹角既有联系又有区别．正解：(1)因为关于x的方程x2－
23、(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，所以Δ＝(t－2)2－4(t2＋3t＋5)≥0，即－4≤t≤－.又c＝(－1,1,3)＋t(1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t)，所以
24、c
25、＝＝.因为t∈时，上述关于t的函数单调递减，所以当t＝－时，
26、c
27、取最小值.(2)当t＝－时，c＝，所以cos〈b，c〉＝＝＝－＝－.所以向量b与c夹角的余弦值为－.
