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《高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的直角坐标运算学案新人教b版选修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.4空间向量的直角坐标运算1．了解空间向量坐标的定义．2．掌握空间向量的坐标运算．3．会利用向量的坐标关系，判定两个向量共线或垂直．4．会计算向量的长度及两向量的夹角．1．空间向量的坐标表示(1)单位正交基底．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引________向量i，j，k，这三个互相________的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做________．【做一做1－1】设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，则
2、e1
3、＋
4、e
5、2
6、＋
7、e3
8、＝__________.(2)空间向量的坐标表示．在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在______实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组__________叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝__________.【做一做1－2】向量0的坐标为__________．向量的坐标与点的坐标表示方法不同，如向量a＝(x，y，z)，点A(x，y，z)．2．空间向量的直角坐标运算(1)设a＝(a
9、1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则容易得到a＋b＝____________；a－b＝____________；λa＝______________；a·b＝____________.(2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝OB－OA＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．【做一做2】设a＝(1,2,3)，b＝(1,1,1)，则2a＋b＝__________.3．空间向量平行和垂直的条件设a＝
10、(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a∥b(b≠0)⇔__________⇔__________，当b1，b2，b3都不为0时，a∥b⇔__________；(2)a⊥b⇔__________⇔__________.【做一做3】设a＝(1,2,3)，b＝(1，－1，x)，a⊥b，则x＝__________.4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
11、a
12、＝____________，
13、b
14、＝____________，a·bcos〈a，b〉＝＝________
15、________________.
16、a
17、
18、b
19、设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
20、AB
21、＝____________.【做一做4】向量a＝(2，－1，－1)，b＝(1，－1,0)的夹角余弦值为__________，
22、a－b
23、＝__________.(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形式．在坐标形式下的模长公式，夹角公式，向量平行和垂直的条件与在普通基底下相同，仅仅是形式不同；(2)空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离(长度)，夹角，证明垂直和平行关系等．如何理解空间向量的坐标及其运算？剖析：(1)注意
24、空间向量的坐标与向量终点的坐标的区别与联系．向量的坐标是其终点与起点坐标的差量．只有以原点为起点的向量，向量的坐标才等于向量终点的坐标．(2)空间向量的坐标运算和平面向量基本一致，只是多了一个竖坐标．(3)坐标形式下向量的计算就是指坐标的运算．题型一空间向量的坐标运算【例1】设向量a＝(3,5,－4)，b＝(2,1,8)，计算3a－2b，(a＋b)·(a－b)．分析：利用空间向量的坐标运算先求3a,2b，a＋b，a－b；再进行相关运算．反思：空间向量的坐标运算首先进行数乘运算然后再进行加减运算，最后进行数量积运算，先算括号内的后
25、算括号外的．题型二空间向量的平行与垂直问题2【例2】设向量a＝(1，x,1－x)，b＝(1－x，－3x，x＋1)，求满足下列条件时，实数x的值．(1)a∥b；(2)a⊥b.分析：解答本题可先由a∥b，a⊥b分别建立x的方程，再解方程即可．反思：要熟练掌握向量平行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件时，一定注意结论成立的前提条件，21－x－3xx＋1在条件不明确时，要分类讨论．在解答本题时易出现由a∥b⇔＝＝⇔1x1－x21－x＝－3x＋1⇔x＝2的错误，导致此错误的
26、原因是忘记了这个结论成立的前提条件是1，＝－31－xx,1－x都不是0.题型三空间向量的夹角及长度公式的应用【例3】已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1,－1,5)，求以AB，AC为邻边的平行四边形面积．
