高一数学 2.3函数的单调性(第二课时) 大纲人教版必修

高一数学 2.3函数的单调性(第二课时) 大纲人教版必修

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1、第二课时课题§2.32函数的单调性(二)教学目标(一)教学知识点复合函数单调性的判断方法。(二)能力训练要求1.使学生进一步熟练掌握函数单调性的判断或证明。2.使学生初步了解复合函数单调性的判断或证明。(三)德育渗透目标培养学生用联系的观点去观察问题、分析问题。教学重点证明函数单调性的方法和步骤。教学难点复合函数单调性的判断方法。教学方法讨论式教学法。教具准备幻灯片两张第一张:本课时教案例题(记作§2.3.2A)第二张:本课时教案练习(记作§2.3.2B)教学过程I.复习回顾[师]请同学们回忆:增函数、减函数的意义,并复述证明函数单调性的

2、步骤。[生]设函数的定义域为I,对于属于I内某个区间的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,①都有f(x1)>f(x2),那么f(x)在这个区间上是增函数,这个区间是函数的单调递增区间。②都有f(x1)>f(x2),那么f(x)在这个区间上是减函数,这个区间是函数的单调递减区间。判断函数单调性的步骤是:①设任意x1,x2∈给定区间,且x1<x2.②计算f(x1)-f(x2)至最简。③判断上述差的符号。④下结论。(若差<0,则为增函数;若差>0,则为减函数)[师]函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的,它是一个局部的概念,因此,

3、某个函数在其整个定义域内,单调性可能不存在。[师]这节课,我们继续学习函数单调性的判断或证明。(板书课题)II.讲授新课(打出幻灯片§2.3.2A,读题)[例题]试证明:对于函数y=f(u)和u=g(x),若u=g(x)在区间(a,b)上具有单调性,当x∈(a,b)时,u∈(m,n),且y=f(u)在区间(m,n)上也具有单调性,则复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上具有单调性的规律如下:y=f(u)增减u=g(x)增减增减y=f[g(x)]增减减增[师]从函数单调性的定义出发,利用判断或证明函数单调性的一般步骤进行证明。(学生证

4、明,教师查看、点拔)[生]证明:①设x1,x2∈(a,b),且x1<x2.∵u=g(x)在(a,b)上是增函数,∴g(x1)<g(x2),且g(x1),g(x2)∈(m,n).∵y=f(u)在(m,n)上是增函数,∴f[g(x1)]<f[g(x2)].∴函数y=f[g(x)在(a,b)上是增函数。②设x1,x2∈(a,b),且x1<x2,∵u=g(x)在(a,b)上是增函数,∴g(x1)<g(x2),且g(x1),g(x2)∈(m,n).∴y=f(u)在(m,n)上是减函数,∴f[g(x1)]>f[g(x2)].∴函数y=f[g(x)]在

5、(a,b)上是减函数。③设x1,x2∈(a,b),且x1<x2.∵u=g(x)在(a,b)上是减函数,∴g(x1)>g(x2),且g(x1),g(x2)∈(m,n).∵y=f(u)在(m,n)上是增函数,∴f[g(x1)]>f[g(x2)].∴函数y=f[g(x)]在(a,b)上是减函数。④设x1,x2∈(a,b),且x1<x2.∵u=g(x)在(a,b)上是减函数,∴g(x1)>g(x2),且g(x1),g(x2)∈(m,n).∵y=f(u)在(m,n)上是减函数,∴f[g(x1)]<f[g(x2)].∴函数y=f[g(x)]在(a,b

6、)上是增函数。[师]①对于复合函数 y=f[g(x)]的单调区间必须是其定义域的子集;②对于复合函数y=f[g(x)]的单调性是由函数u=g(x)及y=f(u)的单调性确定的,且有规律“同为增,异为减”;③通过以上证明过程进一步理解了函数的单调性的抽象定义,并从中体会到函数单调性概念的充要性。III.练习(打出幻灯片§2.3.2B)求函数y=18+2(2-x2)-(2-x2)2的单调区间。解:∵原函数是由y=f(u)=18+2u-u2及u=g(x)=2-x2复合而成的复合函数,∵y=18+2u-u2在(-∞,1)上是增函数,在[1,+∞)

7、上是减函数,又∵u=2-x2在(—∞,0)上是增函数,在[0,+∞)上是减函数,当u∈(-∞,1)时,2-x2∈(-∞,1),即2-x2<1,x>1或x<-1;当u∈[1,+∞)时,2-x2∈[1,+∞),即2-x2>1,-1≤x≤1.x(-∞,-1)[-1,0](0,1)[1,+∞)u=g(x)增增减减y=f(u)增减减增y=f[g(x)]增减增减综合所述,函数y=18+2(2-x2)-(2-x2)2在区间(-∞,-1],[0,1]上是增函数,在区间[-1,0],[1,+∞]上是减函数。IV.课时小结(1)进一步深刻理解了函数单调性的概

8、念。(2)复合函数单调性的判断方法。板书设计§2.3.2函数的单调性(二)复合函数单调性的判断练习例小结

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