数学的建模竞赛

《数学的建模竞赛》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、“井冈杯”题目：B题最优路线设计问题本科组:刘佳敏10数学本（2）10051201015679613675陈殷章10数学本（2）10051206113687969785张奇10电信本（1）10091601015679666827数学建模竞赛井冈山大学2摘要本论文根据题意，要求最优管线铺设路线，只要求出管线与各地质层的交点即可，运用数学规划的思想，在已知管线与各地质层的交点的情况下，每个地质层间的直线铺设无疑是最短的，因此对于问题一建立了规划模型，运用lingo软件求出了满足条件的最优管线铺设路线。

2、问题二在问题一的基础上进行推广，加入了管线转弯时角度至少为160°的限制，在通过一系列的几何计算后，将转弯时角度的限制转化为地质层交界面与管线交点的横坐标X1的取值范围的约束在问题一的模型的基础上建立新的模型。对于问题三，要求管线经过已知点，通过将原来点所在地质层用平行于横轴的直线重新划分为两个新的地质层，将约束条件要求管线经过已知点，转化为管线与两个新地质层交面的交点为点，按照对之前对交点处理方法容易将约束条写成表达式，加入新的约束条件后，对模型用lingo求解就可以得到最优管线铺设路线。最后本

3、文还将模型推广能到处理一般的地质分布情况。【关键词】线性规划；条件转化；lingo求解。12最优路线设计问题一问题的重述准备在A地与B地之间修建一条地下管线，B地位于A地正南面26km和正东40km交汇处，它们之间有东西走向岩石带。地下管线的造价与地质特点有关，下图给出了整个地区的大致地质情况，显示可分为四条沿东西方向的地质带，其宽度分别为：沙土地质带宽C1,C5；沙石地质带宽C2；岩石地质带宽C3；沙石土地质带宽C4。在给定三种地质条件上每千米的修建费用的情况如下：地质条件沙土沙石土沙石岩石费用

4、(万元/千米)12161828试解决以下几个问题：(1)图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜；而路径ARSB过岩石和沙石的路径最短，但是否是最好的路径呢？试建立一个数学模型，确定最便宜的管线铺设路线。（若C1=6，C2=4，C3=5，C4=6，C5=5，确定最便宜的管线铺设路线。）(2)铺设管线时，如果要求管线转弯时，角度至少为1600，确定最便宜的管线铺设路线。(3)铺设管线时，如果要求管线必须通过位于沙石地质带或岩石地质带中的某一已知点P（位于A地正南面18km和正东30km交汇处）时

5、，确定最便宜的铺设路线。二问题的分析在修建地下或管线或者进行公路建设时，由于地质结构复杂性，不同的地质结构将会有不同的造价，为了更好的节约资源，我们不得不对铺设路线进行规划。2现准备在A地与B地之间修建一条地下管线，B地位于A地正南面26km和正东40km交汇处，给出整个地区的大致地质情况及各种地质条件上每千米的修建费用等，要求建立数学模型，求出满足条件下的最便宜的铺设路线。2三模型的假设与符号约定3.1模型的将基本假设（1）假设各地质带的交界呈直线走向。（2）假设各地质带内部分布及特点呈理想化状

6、态，无空洞。（3）不考虑天气状况对施工的影响（所需费用提升…）。3.2符号的约定；；；；；Z:管线总造价；；。四模型的建立与求解4.1.1问题一模型的建立如图1所示,对区域进直角坐标化:Y（0,0）X40km26km图140km（0,0）3从图中可知直线AB是所有线路中最短的，但不一定最便宜；可是如果已知点与，显然直线是最短的路线，而到段的总造价也是最低的。2由图1可知：AX1=c12+x12X1X2=c22+(X2-X1)2X2X3=c32+(X3-X2)2X3X4=c42+X4-X32X4B=

7、c52+(40-X4)2(其中C1=6,C2=4,C3=5,C4=6,C5=5)由于每段都是最低造价，所以总造价也是最低的，我们可以得出以下的规划模型。minZ=12（AX1+X4B）+18X1X2+28X2X3+16X3X4Xi+1≥Xis.t.X1≥0X4≤404.1.2问题一模型的求解问题一模型是一个线性规划,利用lingo软件可以容易求得结果。此时可得：X1=15.67886X2=18.86159X3=21.04549X4=26.93428Z=748.62444.2.1问题二模型的建立问题

8、二是对问题一的一个扩展，增加了要求转弯时要求转角大于160°的限制，可通过如图2所示方法，将转角的限制转化为坐标上长度的限制，对于有.4图2对于点通过计算可求得与相交于处夹角为20°两条直线的方程，通过直线方程又可求得与的横坐标，具体做法如下：2直线的倾斜角为µ，tanµ=--C1X1，µ=π-arctan(C1X1)，与直线相交于处夹角为20°的两条直线的斜率为：k=tan（µ±20°），通过公式可求得两条直线的方程。分别将两直线方程与y=C3+C4+C5联立解方程组就可求出与的