高考数学精英备考专题讲座 第八讲运用数学思想方法解题的策略 第四节运用等价转换思想解题的策略 文

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1、第四节运用等价转换思想解题的策略等价转换是四大数学思想之一，在研究和解决中较难数学问题时，采用等价转换思想，将复杂的问题等价转换为简单的问题，将难解的问题通过等价转换为容易求解的问题，将未解决的问题等价转换为已解决的问题.近几年来高考试题要求学生要有较强的等价转换意识，等价转换思想的应用在近几年来高考试题中处处可见，是解高考试题常用的数学思想，难度值一般控制在.考试要求：（1）了解等价转换的数学思想和遵循的基本原则；（2）了解等价转换思想在解题中的作用；（3）掌握等价转换的主要途径、方法；（4）掌握几种常见的等价转换思路，灵活运用等价转换思想解决数学难

2、题.题型一利用数学定义、公式构造数学模型进行等价转换例1.（1）求的值;（2）求函数的最大值.点拨:（1）利用所求式与余弦定理类似，再结合正弦定理的推论求值；（2）将函数最值问题转换为向量数量积问题，由数量积的不等式性质，求出最大值.解：（1）注意到所求式与余弦定理类似，由∴原式=.（2）构造向量则，由知，，∴，当且仅当与共线且方向相同时，即时等号取得.变式与引申1：已知，且，求证：.题型二函数、方程及不等式解题中的等价转换例2.（1）若、是正数，且满足，求的取值范围.(2)已知奇函数的定义域为实数集，且在上是增函数，当时，是否存在这样的实数，使对所有

3、的均成立？若存在，求出所有适合条件的实数；若不存在，请说明理由.点拨:(1)将一个等式转换为不等式，是求变量取值范围的重要的方法，通常利用函数的单调性解答此类问题，或者利用基本不等式解答这类问题.(2)本题是一道抽象函数单调性、奇偶性的综合运用的问题，由函数的单调性、奇偶性得出关于和的不等式，既然需求的取值，不防把此问题转换为关于的函数和不等式的问题.解：(1)方法一（看成函数的值域），，而，，即或，又，，即，，当且仅当，时等号取得.方法二（看成不等式的解集）为正数，，又，，即，解得或（舍去），（2）由是上的奇函数可得，再利用的单调性，则可把原不等式转

4、换成为关于的三角不等式，是上的奇函数，又在上是增函数，故是上为增函数.是上的增函数，即令，，.于是问题转换为对一切的，不等式恒成立，，即恒成立.又存在实数满足题设的条件，.易错点：(1)不能将等式转换为函数或者不等式进行研究；（2）由已知不等式，结合函数的单调性、奇偶性找不到和的不等式；错误理解自变量只为，不能把问题转换为和的函数或不等式问题；不能想到用复合函数的观点来研究的取值，并且容易把问题看成是关于的不等式问题，从而用根的分布来解决此问题，较为繁琐，容易出错.变式与引申2：已知函数（I）求证：方程有实根；（II）在[0，1]上是单调递减的，求实数

5、a的取值范围；（III）当的解集为空集，求所有满足条件的实数a的值.题型三引入相关参数进行等价转换例3.设，且，求的范围.点拨:本题的解法有多种，数形结合，三角换元都是比较容易想到的方法，我们也可以引入相关参数进行等价转换解：由得，设，则，代入已知等式得：，即，其对称轴为，由，则得，所以的范围是.易错点：忽视参数的取值范围，将解得范围扩大；变式与引申3：设两个向量和其中为实数.若则的取值范围是()A.B.C.D.题型四正向与反向思考中的等价转换例4.试求常数的范围，使曲线的所有弦都不能被直线垂直平分.点拨：在解答问题时，正难则反是转换的一种有效手段，问

6、题的反面是存在一条弦能被直线垂直平分，解出问题反面的范围，则原问题就出来了.解：假设抛物线上两点关于直线对称，显然，于是有，，因为存在使上式恒成立，，即因为恒成立，所以，所以，即当时，抛物线上存在两点关于直线对称，所以当时，曲线的所有弦都不能被直线垂直平分.易错点:不能从问题的反面作为切入点，对于垂直平分认识不够深刻，找不出关于的方程和不等式.变式与引申4：已知三个方程：中至少有一个方程没有实数解，试求实数的取值范围．本节主要考查：（1）等价转换思想在解题中的应用，几种常见的等价转换思路；（2）数形结合思想、方程思想、等价转换思想以及逻辑推理能力、运算

7、求解能力等基本数学能力.点评：等价转换是把未知解的问题转换到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法，通过不断的转换，把不熟悉、不规范、复杂的问题转换为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题，不断培养和训练自觉的转换意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧，等价转换要求转换过程中前因后果是充分必要的，才保证转换后的结果仍为原问题的结果，等价转换思想方法的特点是具有灵活性和多样性，在应用等价转换的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行，它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转换，如在分析

8、和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变