高考数学精英备考专题讲座 第八讲运用数学思想方法解题的策略 第五节推理证明与算法初步 文

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1、第五节推理证明与算法初步推理证明与算法初步是我们高考关注的几个新课标中重点话题，主要涉及到合情推理和演绎推理，直接证明和间接证明，以及算法初步中的框图知识和算法案例等.题型可能是选择题、填空题，主要考查类比或归纳推理、循环结构为主的框图等；也可能是解答题，结合多个知识点进行命题的综合试题.其中推理与证明部分常与数列、不等到式问题综合，难度一般在之间.考试要求（1）合情推理与演绎推理①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用;②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理;③了解合情推理和演绎推

2、理之间的联系和差异;（2）直接证明与间接证明①了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点;②了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点；（3）了解算法的含义；理解程序框图的三种基本结构：顺序、选择、循环；理解几种基本算法语句.题型一：合情推理例1（1）若∆ABC内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则∆ABC的面积S＝r(a+b+c)类比到空间，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1、S2、S3、S4，则四面体的体积＝．（2）在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因

3、为这些数对应的点可以排成一个正三角形,则第个三角形数为().A.B.C.D.点拨：（1）类比推理是指两类对象具有一些类似特征，由其中一类的某些已知特征推出另一类对象的某些特征；（2）这是一种归纳推理方法，要善于发现其中的数字间的特征才能找到规律，得到一般形式.解：（1）比较两个对象，三边对四面，面积对体积，内切圆对内切球，三边长对四个面的面积，由S＝r(a+b+c)等式两边的量，类比对应到体积、系数、半径R、面积S1＋S2＋S3＋S4.答：R(S1＋S2＋S3＋S4).（2）在给出的一三角形数中，其中第一个三角形数1，第二个三角形数3=1+2，第三个三角形数6=1+

4、2=3,第四个三角形数10=1+2+3+4，第五个三角形数15=1+2+3+4+5，故推测出的一般结论是：第个三角形数为易错点：（1）类似特征不明确，类比结论错误；（2）不善于寻找数字间的DO图规律，导致结论错误.变式与引申1：（1）在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1，则；类比此性质，如图，在四面体P—ABC中，若PA，PB，PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为；（2）(2011江西文数)观察下列各式：则，…，则的末两位数字为（）A.01B.43C.07D.49题型二：演绎推理例2如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，.求证：（

5、1）∥；（2）.点拨：数学的证明主要是通过演绎推理来进行的，证明线面平行时一定要注意注明直线在平面内及直线在平面外这两个条件.解：证明：（1）因为分别是的中点，所以，又，，所以∥；（2）因为直三棱柱，所以，，又，所以，又，所以.易错点：三段论是演绎推理的一般形式，包括大前提、小前提、结论三部分，在书写证明的过程中，很多学生会出现跳步现象，逻辑关系不清楚是常见的错误.变式与引申2：（1）已知①正方形的对角相等；②平行四边形的对角相等；③正方形是平行四边形．根据三段论推理得到一个结论，则这个结论的序号是.ABCDEF图（2）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

6、△ACD为等边三角形，，F为CD的中点.(Ⅰ)求证：AF∥平面BCE；(Ⅱ)求证：平面BCE⊥平面CDE.题型三：直接证明例3已知求证：点拨：综合法着力分析已知和求证之间的差异和联系，并合理运用已知条件进行有效的变换是证明的关键，综合法可以使证明过程表述简洁，但必须首先考虑从哪开始，这一点比较困难，分析法就可以帮助我们克服这一点，运用分析法比较容易探求解题的途径，但过程不及综合法简单，所以应把它们结合起来.证法1：（综合法），当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，即证法2：（分析法）要证，只要证即证，即证即由得，所以原不等式成立易错点：（1）用综合法证明时难找到突

7、破口，解题受阻；（2）分析法是寻找使不等式成立的充分条件，最后要充分说明推出的结论为什么成立.变式与引申3：设(），比较、、的大小，并证明你的结论.题型四：间接证明例4：已知函数y=ax+(a＞1).（1）证明：函数f(x)在（-1,+∞)上为增函数；（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.点拨：用反证法证明把握三点（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面；（2）必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证，（3）导致的矛盾可能多种多样，但推导出的矛盾必须是明显的.证明（1）任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1＜x2,则x