8第八讲 运用数学思想方法解题的策略 理科

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1、第八讲运用数学思想方法解题的策略第一节运用函数与方程思想解题的策略函数的主干知识、函数的综合应用以及函数与方程思想的考查，一直是高考的重点内容之一.高考试题中，既有灵活多变的客观性小题，又有一定能力要求的主观性大题，难度有易有难，可以说是贯穿了数学高考整份试卷.高考中所占比重比较大，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，难度值一般控制在之间.考试要求：考查逻辑思维能力、等价转换能力、空间想象能力、运算能力、识别能力、运用数学知识分析问题和解决问题能力.函数思想主要有：（1）引入变量，确定函数关系；（2）选定主元，揭示函数关系；(3)

2、选取变元，构造函数关系；（4）实际问题，建立函数关系；（5）特殊函数，转化函数关系.方程思想主要有：（1）待定系数求解方程；（2）分类思想讨论方程；（2）变量代换构造方程.题型一构造函数和方程解题例1.已知，（、、），则有（）.A.B.C.D.点拨：方法一通过化简，敏锐地抓住数与式的特点：看作是方程的一个实根，再利用一元二次方程有实数根的充要条件求得；方法二转化为是、的函数，运用重要不等式解题．解：方法一：依题设有∴是实系数一元二次方程的一个实根；∴∴故选B.方法二：去分母，移项，两边平方得：∴故选B.易错点：不能合理地转化为是、的函数

3、或构造来解题.变式与引申1：(2009年山东文科第12题)已知定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,则().A.B.C.D.题型二函数、方程、不等式三者之间的相互转化例2.已知，，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，求的取值范围．点拨：首先明确本题是求的取值范围，这里注意另一个变量，不等式的左边恰是的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决.在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键．24解：∵，∴，从而原题转化为：恒成立，为的一次函数（这里思维的转化很重要）当时，不等式不成立．∴．令＝为的一次函数，，问题转化为在上恒大

4、于0，则，解得：或易错点：“主元”的选取容易选错，误认为是关于的二次函数，导致错误.变式与引申2：设不等式对于满足的所有的值都成立，求的取值范围.题型三函数与方程在解析几何中的应用例3.已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.点拨：（1）由右焦点的坐标求得，设左焦点为，由椭圆的定义求得，进而得到椭圆的方程；（2）假设直线存在，设出直线方程，并将直线方程和椭圆的方程联立，表示出直线与的距离，由

5、距离等于4列方程解得.解：（1）依题意，可设椭圆的方程为，且左焦点为，从而有，解得又，所以，故椭圆的方程为（2）假设存在符合题意的直线，其方程为由得,因为直线与椭圆有公共点，所以有解得另一方面，由直线与的距离为4，可得，从而24由于，所以符合题意的直线不存在.易错点：忽略.变式与引申3：M已知的边边所在直线的方程为满足,点在AC边所在直线上，且满足．（I）求AC边所在直线的方程；（II）求外接圆的方程；（III）若动圆过点，且与的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．题型四应用函数与方程研究实际问题例4.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源

6、损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（1）求的值及的表达式.（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.点拨：(1)利用赋值法,把特殊点代入,求出.由为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和,列出的表达式.(2)利用导数基础知识求的最小值.解：（1）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为由,得

7、，因此，而建造费用为故隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（2），令，即解得（舍去）当时，，当时，故是的最小值点，对应的最小值为当隔热层修建厚时，总费用达到最小值70万元.24易错点：不能正确领悟的含义；求函数的导数时易发生错误.变式与引申4：某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速

8、度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的