高中数学 第三讲 3.3一般形式的柯西不等式教案 新人教a版选修4-5

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1、一般形式的柯西不等式教学目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。教学过程：一、复习引入：定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立。定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：二、讲授新课：类似的，从空间向量的几何背景

2、业能得到

3、α.β

4、≤

5、α

6、

7、β

8、.将空间向量的坐标代入，可得到这就是三维形式的柯西不等式.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？定理4：（一般形式的柯西不等式）：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：即，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。证明：构造二次函数：即构造了一个二次函数：由于对任意实数，恒成立，则其，即：，即：，等号当且仅当，即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。如果（）全为0，结论显然成立。三、应用举例：例3已知a1,a2,…,an都是实数，求证：分析：用n乘要证的式子两

9、边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例4已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。分析：由形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。四、巩固练习：练习：1．设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求的最小值。2．已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。3．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求的最大值。选做：4．已知a，b，c

10、为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08广一模）5．已知a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求的最小值。（08东莞二模）6．已知x+y+z=，则m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08惠州调研)五、课堂小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。六、布置作业：P41习题3.22，3，4，5