高中数学第三讲33一般形式的柯西不等式暑期备课教案新人教A版选修4-5

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1、一般形式的柯西不等式教学目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。教学过程一、复习引入定理1：（柯西不等式的代数形式）紛b,c,d均为实数，则2+）（+）2（+）=2222（abedacbd,其中等号当且仅当adbe时成立。aPa•卩Aa*定理2：（柯西不等式的向量形式）设为平面上的两个向量，则

2、

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5、其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2一为任意卖零，贝IJ一33(X1X)2

6、(X2(y222x)(yy)313二、讲授新课pi.将空间向量的坐标代入可得到===(a12ib即00：,或存在一个实（a2a2)(bi1,2,3)时数k,使得akb'＜立.++lll++lllA这就是三维形式的柯西不等式・,等类似的,+从空间向量m何背景业能得至ij222b3)(adab2a3b3)12当且仅当+III=ar7b(i2,二，n)为任意实数，则2(a1222an)(bb122bn)(ab11abanbn)22对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗歪理4送（一般影瓷的柯西不等式）:政为大手的自然数，一=•bn时成立（当0aibi1ab,其中等号当且

7、仅当aa12a时,约览1,=2,n)o证明：构造二次函数:=一2+—2+…・(x)(aixb)(axb)22_2(匚)+工=abx(anxbn)1即构造了一个二次函数：f(x)=(&2)2=aix_bI2由于箱崔:羹薮X,-f(划底成立，测三4(n4(三)(ib)(2),2等号当且仅当aixbaxbanxbn0,122—++••+<即等号当且仅当bbb1时成立(当02an时，约疑0,aa■Ia12n如果a(1■I■In)全为0,结论显然成立。i1i1i1ib三I处i三、应用仙1,2，…n)o++例3已知ai,a2,…+=++,an都是实数，求证：1+=+勺⑻2an)分析：用n乘要证的式子两边

8、，能使式子变成明显符柯西不等式的形式。例4己知a,b,c,d是不全相等的实数，证明:2+b2+c2+d2>ab+be+cd+daa分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的或子二特别是右边式子的字排颇—+—+—例5、已知2y31,求2yXZzX2y2分析：由x2y3z1以及x启发我们，可以用柯西不等式进征明。的最小值・2+2晋32)作为一个因式而解决翹Z2的形式，联系柯西不等式，可以通檜四、巩固练习练习1・设y,z为正实数，且x+y+z=1,求1的最小值。492bc的最大值。选做：4.已（08广一模）1的最小值。（08东莞二C模）2+b2+c2+d2的最小值。2・已知a+b+c+d=1

9、,求a3・已知a,b,c为正实数，且a+2b+3c=9,求3a知a,b,c为正实数，且a2+2b2+3c2=6＞求址+c的最小值—115•已知a,b,c为正实数，且a+2b+c=1,求abJ2+2y2+Z26•已知x+y+z二25,贝!Jm=x的最小值是.（08惠州调研）五、课堂小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。六、布置作业：P41习题3.22,3,4,5