高中数学 空间位置关系的判断与证明 板块四 垂直关系的判断与证明完整讲义（学生版）

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1、学而思高中完整讲义：空间位置关系的判断与证明.板块三.平行关系的判断与证明.学生版典例分析【例1】下列说法正确的有．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线．④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面．⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直．⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【例2】在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有个．【例3

2、】已知在三棱锥中，，求证：⊥．【例4】如图，已知三棱锥，，为的中点，且是正三角形，⊥．求证：⑴⊥面；⑵平面⊥平面．【例5】如图，是正方形，垂直于平面，过且垂直于的平面交、、分别于点、、，求证：，．【例1】如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．证明：面⊥面．【例2】如图，四面体，⊥面，⊥，过作⊥交于，过作⊥交于．求证：⊥．【例3】如图是正方体下底面中心，，为垂足．求证：平面．【例4】如图所示，在正方体中．．求证：⊥面．【例1】在长方体中，点，分别在，上且，，求证：面【例2】在正方体中，为的中点，为底面的中心．求证：⊥面．

3、【例3】在四棱锥中，底面为矩形，⊥底面，，分别为，的中点．⑴求证：∥平面；⑵若，求证：⊥面．【例4】已知平行六面体的底面是菱形，且．求证：⊥．【例5】（2008深圳高三联考）如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件时，有．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）【例1】如图，、、、是空间四点，在中，，，等边所在的平面以为轴可转动．当转动过程中，是否总有？请证明你的结论【例2】在正方体中，是的中点，问当点位于上何处时，？【例3】如图，直三棱柱中，，，，是的中点．⑴求证平面；⑵当点在上什么位置时，会使得

4、平面？并证明你的结论．【例4】（2000全国，文19）如图已知平行六面体的底面是菱形，且．⑴证明；⑵当的值为多少时，能使平面？请给出证明．【例1】已知四面体，①若棱，求证②若，求证棱．【例2】已知三棱锥中，底面，，分别为的中点，于．⑴求证：平面；⑵求证：平面平面；⑶若，求截面分三棱锥所成两部分的体积比．【例3】（2009扬州中学高三期末）在四棱锥中，，，平面，为的中点，．⑴求四棱锥的体积；⑵若为的中点，求证平面．【例4】（2003京皖春）如图所示，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为．分别为棱的中点，．⑴求证：平面平面；⑵

5、求点到平面的距离；⑶求三棱锥的体积．