高中数学 直线与圆锥曲线 板块一 直线与椭圆(1)完整讲义（学生版）

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1、学而思高中完整讲义：直线与圆锥曲线.板块一.直线与椭圆(1).学生版1．椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程：①，焦点是，，且．②，焦点是，，且．3．椭圆的几何性质（用标准方程研究）：⑴范围：，；⑵对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段．⑸

2、椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，，越趋近于，椭圆越扁；反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆．4．直线：与圆锥曲线：的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线：，圆锥曲线：，由消去（或消去）得：．若，，相交；相离；相切．若，得到一个一次方程：①为双曲线，则与双曲线的渐近线平行；②为抛物线，则与抛物线的对称轴平行．因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但

3、不是充分条件．5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为，被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为，则弦长公式为．两根差公式：如果满足一元二次方程：，则（）．6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．典例分析【例1】直线与

4、椭圆交于不同两点和，且（其中为坐标原点），求的值．【例2】在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．⑴求的取值范围；⑵设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．【例3】已知，直线，椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点．⑴当直线过右焦点时，求直线的方程；⑵设直线与椭圆交于，两点，，的重心分别为，．若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围．【例1】已知椭圆短轴的一个端点，离心率．过作直线与椭圆交于另一点，与轴交于点（不同于原点），点关于轴的对称点为，直线交轴于点．⑴求椭圆的方程；⑵求的值．

5、【例2】已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且离心率满足：成等比数列．⑴求椭圆方程；⑵是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点、，且线段恰被直线平分，若存在，求出的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．【例3】直线与椭圆交于、两点，记的面积为，⑴求在的条件下，的最大值；⑵当，时，求直线的方程．【例4】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是其左顶点，点在椭圆上且．⑴求椭圆的方程；⑵若平行于的直线和椭圆交于两个不同点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．【例1】如图，点是椭圆短轴的下端点．过作斜率为的直线交椭圆于，点在轴上，且轴，．⑴若点坐标为，求椭圆方程；⑵若点坐标为，求的取值范围．【

6、例2】已知椭圆的焦点是，，点在椭圆上且满足．⑴求椭圆的标准方程；⑵设直线与椭圆的交点为，．ⅰ）求使的面积为的点的个数；ⅱ）设为椭圆上任一点，为坐标原点，，求的值．【例3】已知椭圆的离心率为．⑴若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点．i）当，求的值；ii）对于椭圆上任一点，若，求实数满足的关系式．【例4】已知椭圆的左右焦点分别为．在椭圆中有一内接三角形，其顶点的坐标，所在直线的斜率为．⑴求椭圆的方程；⑵当的面积最大时，求直线的方程．【例1】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上．⑴求椭圆的方程；⑵过的直

7、线与椭圆相交于、两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．【例2】已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且点在该椭圆上．⑴求椭圆的方程；⑵过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于、两点，若的面积为，求圆心在原点且与直线相切的圆的方程．【例3】椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．⑴求椭圆的方程；⑵设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率．【例4】已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直线与椭圆相交于不同的两点．⑴求椭圆的方程；⑵是否存直线，满足