高中数学 直线与圆锥曲线 板块三 直线与抛物线完整讲义（学生版）

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1、学而思高中完整讲义：直线.板块五.直线中的对称问题.学生版1．椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程：①，焦点是，，且．②，焦点是，，且．3．椭圆的几何性质（用标准方程研究）：⑴范围：，；⑵对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，

2、如图中的线段．⑸椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，，越趋近于，椭圆越扁；反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆．4．直线：与圆锥曲线：的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线：，圆锥曲线：，由消去（或消去）得：．若，，相交；相离；相切．若，得到一个一次方程：①为双曲线，则与双曲线的渐近线平行；②为抛物线，则与抛物线的对称轴平行．因此直线与抛物线、双曲线有一个公共

3、点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为，被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为，则弦长公式为．两根差公式：如果满足一元二次方程：，则（）．6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．②以向量为工具，利用向

4、量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．典例分析【例1】已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【例2】点在直线上，若存在过的直线交抛物线于，两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线上的所有点都是“点”B．直线上仅有有限个点是“点”C．直线上的所有点都不是“点”D．直线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点”【例1】如图抛物线：和圆：，其中，直线经过的焦点，依次交，于四点，则的值为（）A．B．C．D．【例2】斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，若弦长，则_【例3】抛物线与直线

5、有两个不同的交点，则实数的范围是_____________．【例4】若直线与抛物线交于、两点，若线段的中点的横坐标是，则______．【例5】已知抛物线的一条弦，，，所在的直线与轴交于点，则．【例6】过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_______条【例7】对于抛物线：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线的位置关系是_______【例1】设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是_______．【例2】若曲线与直线没有公共点，则、分别应满足的条件是．【例3】过抛物线的

6、焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的长为，则_______．【例4】已知抛物线（为常数，）上不同两点、的横坐标恰好是关于的方程（为常数）的两个根，则直线的方程为_________________．【例5】抛物线截直线所得弦长的中点坐标为_______，弦长为______．【例6】已知抛物线，过定点作一弦，则_______．【例7】已知抛物线过点，⑴求抛物线的焦点坐标与准线方程；⑵直线：与抛物线交于两点，求线段的中点坐标及的值．【例8】⑴设抛物线被直线截得的弦长为，求值．⑵以⑴中的弦为底边，以轴上的点为顶点作三角形，当三角形的面积为时，求点坐

7、标．【例1】已知点到定点（）与它到定直线的距离相等，⑴求动点的轨迹方程；⑵设过点的直线与的轨迹交于、两点，设，当直线与的斜率都存在时，求证直线、的斜率之和为．【例2】在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于两点．若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值．【例3】过抛物线的对称轴上的定点作直线与抛物线相交于、两点，若点为定直线：上的任意一点，试证明：三条直线、、的斜率成等差数列．【例4】已知抛物线．过动点且斜率为的直线与该抛物线交于不同的两点、．若，求的取值范围．【例5】已知曲线为顶点在原点，以轴为对称轴，开口向右的抛物线，又点到抛

8、物线的准线的距离为，⑴求抛物线的方程；⑵证明：过点的任意一条直线与抛物线恒有公共点；⑶若⑵中的直线分别与抛物线交于上下两点