高中数学 直线与圆锥曲线 板块一 直线与椭圆(2)完整讲义（学生版）

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1、学而思高中完整讲义：直线与圆锥曲线.板块一.直线与椭圆(1).学生版1．椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程：①，焦点是，，且．②，焦点是，，且．3．椭圆的几何性质（用标准方程研究）：⑴范围：，；⑵对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间

2、的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段．⑸椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，，越趋近于，椭圆越扁；反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆．4．直线：与圆锥曲线：的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线：，圆锥曲线：，由消去（或消去）得：．若，，相交；相离；相切．若，得到一个一次方程：①为双曲线，则与双曲线的渐近线平行；②为抛物线，则与抛物线的对称轴平行．

3、因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为，被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为，则弦长公式为．两根差公式：如果满足一元二次方程：，则（）．6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时

4、利用图形的平面几何性质．②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．典例分析【例1】设椭圆过点，且左焦点为⑴求椭圆的方程；⑵当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．【例2】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．⑴求椭圆的方程；⑵设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；⑶在⑵的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．【例1】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大

5、值为，最小值为．⑴求椭圆的标准方程；⑵若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【例2】在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和．⑴求轨迹的方程；⑵当时，求与的关系，并证明直线过定点．【例3】在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是，直线与轨迹交于不同的两点和．⑴求轨迹的方程；⑵是否存在常数，？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【例4】设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，

6、且离心率，且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点．⑴求椭圆的方程；⑵是否存在直线，使得．若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．⑶若是椭圆经过原点的弦，，求证：为定值．【例5】已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为的正方形．⑴求椭圆的方程；⑵若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点．证明：为定值．⑶在⑵的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线、的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【例1】已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆

7、于、两点，与共线．⑴求椭圆的离心率；⑵设为椭圆上任意一点，且，证明为定值．【例2】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，经过点且离心率．过定点的直线与椭圆相交于，两点．⑴求椭圆的方程；⑵在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．