高中数学 3.4.2 基本不等式 的应用（一）优秀教案 新人教a版必修5

《高中数学 3.4.2 基本不等式 的应用（一）优秀教案 新人教a版必修5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、备课资料备用习题1.已知a、b是正实数，试比较an+bn与an-1·b+abn-1的大小.解：an+bn-an-1b-abn-1=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1).①当a＞b＞0时，a-b＞0,an-1-bn-1＞0,得(a-b)(an-1-bn-1)＞0;②当b＞a＞0时，a-b＜0,an-1-bn-1＜0,得（a-b）(an-1-bn-1)＞0;③当b=a＞0时，（a-b）(an-1-bn-1)=0;所以当a≠b时，an+bn＞an-1b+abn-1;当a=b时,an+

2、bn=an-1b+abn-1.2.已知△ABC内接于单位圆，且(1+tanA)(1+tanB)=2，（1）求证:内角C为定值；（2）求△ABC面积的最大值.（１）证明：由(1+tanA)(1+tanB)=21+tanAtanB+tanA+tanB=2(1-)(tanA+tanB)=0.∵(tanA+tanB)≠0,∴，即tan(A+B)=1.∴∠C=135°.（2）解析：由题意,可得S△ABC=AC×BCsinC=AC×BC≤()2.当AC=BC时，S△ABC有最大值，最大值为S△ABC=(AC)2.再作辅助

3、线如图，连结OC、OA，OC交AB于D得AB⊥OC，所以AD=BD=,CD=1-,AC2=AD2+CD2=2-2,所以S△ABC的最大值=(AC)2=.3.一批救灾物资随26辆汽车从某市以xkm/h的速度匀速开往400km处的灾区，为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？解析：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知t相当于：最后一辆车行驶了25个+400km所用的时间，因此，.当且仅当,即x=80时取“=”.答：这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，

4、最少时间是10小时.4.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A、B孔面积忽略不计)分析：应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值.解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知,其中k＞

5、0且k是比例系数.依题意要使y最小，只需求ab的最大值.由题设得4b＋2ab＋2a＝６0（a＞0，b＞0），即a＋2b＋ab＝30（a＞0，b＞0），∵a＋2b≥2,∴2·＋ab≤30.当且仅当a＝2b时取“＝”，ab有最大值.∴当a＝2b时有2·ab＋ab＝30，即b2＋2b－1５＝0.解之，得b1＝3，b2＝－５（舍去）.∴a＝2b＝６.故当a＝６米，b＝3米时，经沉淀后流出的水中杂质最少.解法二：设y为流出的水中杂质的质量分数，由题意可知4b＋2ab＋2a＝６0（a＞0，b＞0），∴a＋2b＋ab＝30（a＞0，b

6、＞0）.∴（0＜a＜30).由题设，其中k＞0且k是比例系数，依题只需ab取最大值.∴.当且仅当a＋2＝时取“＝”，即a＝６，b＝3时ab有最大值18.故当a＝６米，b＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.点评：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“＝”成立.5.如图，在△ABC中，∠Ｃ＝９0°，AC＝3，BＣ＝4，一条直线分△ABＣ的面积为相等的两部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长.分析：本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB与BC之间的线段E

7、F，同时考虑到题设中的等量关系，即S△BＥＦ＝S△ABＣ，因此，所选变量还应便于求两个三角形的面积，于是考虑设BE＝x，BＦ＝y.解：设BＥ＝x，BＦ＝y(0＜x＜4，0＜y＜５），则S△BＥＦ＝BＥ·BＦsinB＝xysinB.又S△ABＣ＝BＣ·AＣ＝×3×4＝６,依题意可知S△BＥＦ＝S△ABＣ.∴xysinB＝×６＝3.∵，xy＝10,又,∴在△BＥＦ中，由余弦定理得ＥＦ2＝BＥ2＋BＦ2－2BＥ·BＦ·cosB＝x2＋y2－2xy·＝x2＋y2－1６≥2xy－1６＝4，当且仅当x＝y＝时，等号成立.故此时线段

8、EF的长为2.点评：本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题.而求函数最值是不等式的重要应用，当解析式比较复杂时，利用三角函数的有关知识，巧妙地寻求等量关系，合理变形，是我们常用的一惯手法.从而使我们注意到：数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想方法.