高中数学 第三章 不等式 3.4.2 基本不等式的应用（1）教案 新人教a版必修5

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1、3.4.2　基本不等式的应用（一）项目内容课题3.4.2　基本不等式的应用修改与创新教学目标一、知识与技能1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式；2.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路；3.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达.二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观

2、1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思考，通过设置思考项，让学生探究，层层铺设，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学重、难点教学重点1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不

3、等式；2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.教学难点1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式；2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.教学准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺教学过程导入新课师前一节课，我们通过问题背景，抽象出了不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R)，然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式.本节课，我们将利用基本不等式来尝试证明一些简单的不等式.(此时，老师用投影仪给出下

4、列问题)推进新课问题1.已知x、y都是正数，求证：(1)；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.师前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？（思考两分钟）生不可以证明.师是否可以用基本不等式证明呢？生可以.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：∵x、y都是正数，∴，.∴，即.师这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？（齐声：完成）［合作探究］师请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不

5、等式就能证明呢？（引导同学们积极思考）生可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质.师这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位.生∵x，y都是正数，∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0.∴x＋y≥2＞0，x2＋y2≥2x2y2＞0,x3+y3≥2x3y3＞0.∴可得（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2xy·2·2＝８x3y3，即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.师这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到.（在表达过程中，对条件x，y都是正数往往忽视）师在运用定理：时，注意条件a、b均为正

6、数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证.(此时，老师用投影仪给出下列问题)问题3.求证：.（此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）师利用完全平方公式，结合重要不等式：a2＋b2≥2ab，恰当变形，是证明本题的关键.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2.∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2.不等式两边同除以4，得≥，即.师下面同学都是用这种思路解答的

7、吗？生也可由结论到条件去证明，即用作差法.师这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成.［课堂练习］1.已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.∵a、b、c都是正数，∴a＋b≥2＞0,b＋c≥2＞0,c+a≥2＞0.∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc,即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.［合作探究］2.已知（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求证：.（老师先分析，再让学生完成

8、）师本题结论中，注意互为倒数，它们的积为1，可利用公式a＋b≥2ab，但要注意条件a、b为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说