【059】第九章 期权估价(7)

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1、第二节期权价值评估的方法二、二叉树期权定价模型（三）多期二叉树模型1.原理：从原理上看，与两期模型一样，从后向前逐级推进，只不过多了一个层次。2.股价上升与下降的百分比的确定：期数增加以后带来的主要问题是股价上升与下降的百分比如何确定问题。期数增加以后，要调整价格变化的升降幅度，以保证年收益率的标准差不变。把年收益率标准差和升降百分比联系起来的公式是：【例9-9】采用的标准差σ=0.4068u=e0.4068×=e0.2877=1.3333该数值可以利用函数计算器直接求得，或者使用Excel的EXP函数功能，输

2、入0.2877，就可以得到以e为底、指数为0.2877的值为1.3333。d=1÷1.3333=0.75【教材例9-11】利用[例9-9]中的数据，将半年的时间分为6期，即每月1期。已知：股票价格S0=50元，执行价格为52.08元，年无风险利率为4%，股价波动率(标准差)为0.4068，到期时间为6个月，划分期数为6期(即每期1个月)。（1）确定每期股价变动乘数。u=e0.4068×=e0.1174=1.1246d=1÷1.1246=0.8892【注意】计算中注意t必须为年数，这里由于每期为1个月，所以t=1

3、/12年。（2）建立股票价格二叉树5（3）按照股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值二叉树【提示】运用风险中性原理的关键是计算概率。概率的计算有两种方法：（1）直接按照风险中性原理计算　　期望报酬率=（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）【教材例题】上行概率×12.46%+（1-上行概率）×（-11.08%）　　上行概率=0.4848　　下行概率=1-0.4848=0.5152（2）概率的计算也可以采用下式5　　上行概率　　下行概率=1-0.4848=0.5152【例题11•计算题】假设A公

4、司的股票现在的市价为40元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为40.5元，到期时间均是1年。根据股票过去的历史数据所测算的连续复利收益率的标准差为0.5185，无风险利率为每年4%。要求：（1）建立两期股价二叉树图；（2）建立两期期权二叉树图；（3）利用两期二叉树模型确定看涨期权的价格。【答案】（3）解法1：解法2：2%=上行概率×44.28%+（1-上行概率）×（-30.69%）上行概率=0.4360下行概率=1-0.4360=0.5640Cu=（上行概率×上行期权价值+下行概率×下行期权价值）÷

5、（1+持有期无风险利率）=（0.4360×42.77+0.5640×0）/（1+2%）=18.28（元）Cd=（上行概率×上行期权价值+下行概率×下行期权价值）÷（1+持有期无风险利率）=0期权价格C0=（0.4360×18.28+0.5640×0）/（1+2%）=7.81（元）5三、布莱克－斯科尔斯期权定价模型（一）假设1.在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不做其他分配；2.股票或期权的买卖没有交易成本；3.短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；4.任何证券购买者能以短期的无风险利

6、率借得任何数量的资金；5.允许卖空，卖空者将立即得到所卖空股票当天价格的资金；6.看涨期权只能在到期日执行；7.所有证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走。（二）公式【例9-12】股票当前价格20元，执行价格20元，期权到期日前的时间0.25年，无风险利率12%，δ2=0.16。根据以上资料计算期权价格如下：C0=20×0.5987-20×e-12%×0.25×0.5199=11.97-20×0.9704×0.5199=11.97-10.09=1.88（元）（三）参数估计1.无风险利率5无风险利率应选择与期权

7、到期日相同的国库券利率。如果没有相同时间的，应选择时间最接近的国库券利率。这里所说的国库券利率是指其市场利率，而不是票面利率。模型中的无风险利率是按连续复利计算的利率。如果用F表示终值，P表示现值，rc表示无风险利率，t表示时间（年）：　　则：F=P×erct即：rc=[ln（F/P）]/t【例9-13】假设t=0.5年，F=105元，P=100元，则：rc=ln(105÷100)÷0.5=ln(1.05)÷0.5=0.04879÷0.5=9.758%【提示】　　为了简便，手工计算时往往使用年复利作为近似值。使

8、用年复利时，也有两种选择：（1）按有效年利率折算：例如：假设年有效利率为4%，则半年复利率为-1=1.98%。（2）按报价利率折算：例如，假设年报价利率为4%，则半年复利率为4%÷2=2%。【例题12•计算题】2009年8月15日，甲公司股票价格为每股50元，以甲公司股票为标的代号为甲49的看涨期权的收盘价格为每股5元，甲49表示此项看涨期权的行权价格为每股49元。截至2009年8月1