高二数学数学归纳法知识精讲1 人教版

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1、高二数学数学归纳法知识精讲人教版一.本周教学内容：寒假专题——预习《代数》第六章的§6.12数学归纳法二.重点、难点：1.什么是归纳法？什么是数学归纳法？要回答这个问题，就需要从数学中的推理方法谈起。在数学中，常用的推理方法可分为演绎法和归纳法两种。所谓演绎法就是从普遍性的规律（如概念、公理、定理）出发，去认识特殊的，个别的研究对象的方法，即从一般到特殊的推理方法，演绎法是数学中十分重要的方法，可以说，数学大厦就是主要靠演绎法构建起来的。其基本模式是三段论法，即：（1）大前提：已知的一般原理；（2）小前提：所研究特殊事物的特征；（3）结论：从已知的一般原理结合特殊

2、事物的特征，做出判断。例如，（1）大前提：对函数y＝f(x)定义域内的任意x，都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数。归纳推理则是通过考察事物的部分对象而得到有关事物的一般性结论的方法，即从特殊到一般的推理方法。例如：观察下列各式：……通过对以上四个等式的分析，我们就把这四个等式中所蕴涵的构成规律提出来：“自然数中，前n个奇数之和等于n的平方”。即1＋3＋5＋……＋(2n－1)＝n2，但这样得到的结论还只是一种猜想，其结论是否对任意自然数都正确，还有待考证。对于以上提出的等式：1＋3＋5＋……＋(2n－1)＝n2的正确性，怎样才能证明它呢？无疑，如果我们能

3、就n＝1，n＝2，n＝3，……，逐个考察，验证，是个好方法，但这是不可能做到的，因为自然数有无穷多个，即使我们穷其一生，也难以验证完。因此需另辟蹊径。用以证明这种命题的好方法是数学归纳法。数学归纳法与归纳法虽然都含有归纳二字，但其涵义有着本质的不同，那么什么是数学归纳法呢？试想象有无穷多块多米诺骨牌，它们满足哪些条件，就可在启动第一块后，保证所有的骨牌都能倒下呢？事实上，只需两个条件：（1）第一块骨牌倒下；（2）对任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则导致后一块骨牌倒下。数学归纳法在证明与自然数n（无穷多个）相关的命题时，思想方法与推倒骨牌类似。在证明时，只需证

4、明两点：这样，我们只需用有限的工作（证明两点），就解决了需无穷多次验证的问题，多么巧妙的证明方法！（这是一种逐项递推的思维方法）2.数学归纳法的步骤：用数学归纳法证明某个命题时，需分三个步骤：（1）验证n取第一个值n0时命题的正确性。（递推基础）（2）证明“由n＝k时命题正确可推得n＝k＋1时命题也正确”。（递推的依据）（3）由以上两步骤得出结论。以上的第一步与第二步缺一不可。如果只有第一步证明，缺少第二步的证明，那么就只能保证当n＝n0时，命题成立，至于n取其他自然数的情形，则并未证明，这种“以一代全”的证明显然有误；而如果只证明第二步，而不证明第一步，乍看似乎

5、能由递推的特性把n取所有自然数的情形都证明了。但细细想来，还是有问题的，试想，当n＝n0时命题成立与否并未确认，那么第二步涉及的递推的基础又去哪儿寻找呢？即便有第二步的递推关系成立，则因缺少递推的基础，就使得第二步的证明尤如“空中楼阁”很不可靠，下面举一例说明之。可见，由n＝k时命题成立，能推出n＝k＋1时，命题也成立，但是这个命题都是错的，为什么？试验证n＝1时的命题：左式＝1，右式＝0，显然不成立。可见，数学归纳法的三个步骤中，缺一不可。【典型例题】证明：左式＝右式，等式成立。注：在证明当n＝k＋1时等式成立，除了形式上的变形外，其实质上是运用了先前的假设“n

6、＝k时等式成立，即呢？因此，第二步一开始的假设不是可有可无，它不是“摆设”，而是在以后的证明中支撑着已知条件的作用，不可或缺，也只有这样，才表明由n＝k时命题成立，而导出n＝k＋1时命题成立的递推关系的真实存在，在数学归纳法证明时，第二步是关键的一步，也是综合性较强的一步，需在证题时认真体会。分析：这是一个与自然数相关的等式的证明题，如果用以前的方法，似乎难以找到一种合适的方法去证明，而现在有了数学归纳法，故可考虑使用此法。证明：由（1）（2）可知，对一切自然数n，等式都成立。注：本例中，需要注意求证的等式的结构特征，以便能确知当n＝1时或n＝k时，或n＝k＋1时

7、，所证等式的左、右两边的形式。分析：显然，对于这样一道与自然数n有关的命题，且是数的整除的命题，恐怕利用数学归纳法证明它是首选的方法，另外，要证这样一种命题，也需具备一点简单的数的整除性知识。证明：由(1)(2)可知，对一切自然数n，命题都成立。证明：分析：对所有自然数n，n2与2n的大小关系是确定的吗？这一点需要对n取一些值进行尝试，发现，猜想一般的结论。解：解：【模拟试题】1.用数学归纳法证明：2.用数学归纳法证明：3.平面上有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条都不共点，求证：这n条直线把平面分成个部分。4.已知数列满足，且[参考答案]http://ww

8、w.Dea