高考数学复习专题 数列与函数

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1、高考数学复习专题数列与函数数列是一个特殊的函数，因此数列与函数之间有着密切的关系，本专题就数列与函数的整合加以简单评述，在学习过程中体会其融合的方法特点。1、高考例题题目1.（2005年高考辽宁卷）已知函数设数列}满足，数列}满足（Ⅰ）用数学归纳法证明；（Ⅱ）证明【命题意图】本小题主要考查函数、数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力【规律总结】题中给出的函数是一个有表达式的函数，因此相当于告诉我们了数列}的递推关系。【解法指导】用数学归纳法证明时，关键在于从n=k到n=k+1，即与的关系因此根据及，可以转化为只含的式子。【标准答案】（Ⅰ

2、）证明：当因为a1=1，所以下面用数学归纳法证明不等式（1）当n=1时，b1=，不等式成立，（2）假设当n=k时，不等式成立，即那么所以，当n=k+1时，不等也成立。根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。（Ⅱ）略。题目2:（2004年高考理科数学天津卷）已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：，，其中a为常数，k为非零常数。（1）令，证明数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；【命题意图】本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力。【规律总结】题中所给的函数为一个抽象函数，我们在利用该函数时要紧紧围绕题目

3、中所给的和来进行。【解法指导】（1）中因，所以利用可以用有关的项进行表示，从而利用题中所给的两抽象函数的关系求解。（2）中通过，利用叠加法便可求解数列的通项公式【标准答案】（1）证明：由，可得。由数学归纳法可证，由题设条件，当时因此，数列是一个公比为k的等比数列。（2）解：由（1）知，当时，当时，。而所以，当时，。上式对也成立。所以，数列的通项公式为2、经典例题例1.（2004年高考理科数学全国卷III）已知函数的所有正数从小到大排成数列（1）证明数列{}为等比数列；（2）记是数列{}的前n项和，求【命题意图】本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数

4、列的概念和性质，以及综合运用的能力.【规律总结】证明等比数列的基本方法为等比数列的概念，因此我们在证明时要紧扣概念，将看作是一列数而已。【解法指导】首先应该利用导数将的根排列，找到数列，然后将看作是的自变量代入函数从而求解的表达式，然后即可证明。（2）问中我们求和一般的方法有分组、裂想和错位相减。【标准答案】（1）证明：由得解出为整数，从而所以数列是公比的等比数列，且首项（2）解：从而因为，所以例2:（2004年高考理科数学北京卷）函数是定义在［0，1］上的增函数，满足且，在每个区间（1，2……）上，的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。（1）求及，的值，并归纳出

5、的表达式（2）设直线，，x轴及的图象围成的矩形的面积为（1，2……），记，求的表达式，并写出其定义域和最小值【命题意图】本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。【规律总结】本题中的函数为抽象函数，在归纳的表达式时我们应根据函数的表达式寻找项数和项的关系来进行，在（2）问中，我们首先应看数列｛｝的通项，然后才能寻找其求和方法。【标准答案】（1）由，得由及，得同理，归纳得（2）当时，所以是首项为，公比为的等比数列所以的定义域为1，当时取得最小值例3:已知数列满足下列条件：，，（1）求的解析式；（2）求的通项公式；（3）试比较与的大小，并加以证明.

6、【命题意图】本小题主要考查函数、数列、不等式证明等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。【解法指导】首先应该根据中互为倒数的关系，利用解方程组的形式求解，然后带入即可得到的关系，下一步利用找到关于的递推关系，从而判定数列｛｝的具体性质，求解。（3）中我们注意比较大小基本的方法为作差,同时注意数学归纳法与运用二项式定理证明的策略。【标准答案】解：（1）①②由①②可得，（2），两式相减得，即，则有且，，则．（3）①又②由①②可得，可用数学归纳法证明，或者3、强化训练1.（2005年辽宁卷）一给定函数的图象在下列图中，2.并且对任意，3.由关系式得到的数列满足，则该函数的

7、图象是（）【命题意图】本小题主要考查数列、函数和数形结合思想。【解法指导】只要我们将数列中的看作是两个数代入得到，利用数形结合即可获解。【标准答案】A。由，，得，即，故选A．2.（2005湖南卷）设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝（）　　A．sinx　B．－sinx　C．cosx　D．－cosx【命题意图】本小题主要考查数列、导数。【解法指导】只要我们将函数依次求导即可解到该数列为周期数列。【标准答案】C。由此继续求导下去，四个一循环，又2005故