高考亮点：放缩法与数列不等式

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1、直击高考思想方法系列五高考亮点：放缩法与数列不等式对放缩法的准确把握，需要学生有较强的分析判断能力、探索问题、研究问题的能力，而这正是高考能力立意的宗旨。也就成为考察学生数学素质的一个热点，成为近几年来的高考命题的一个亮点，下面借助几例探讨一下放缩法在数列不等式中的各种应用形式，供同学们参考。一、构造“和”相消形式通过把一个数列的一项放缩为另一个数列的两项或几项，其和互相抵消，这样由繁到简，以达到证明目的，具体步骤如下：第一步将一般项裂项，即探索关系an≤bn-bn-k或an>bn-bn-k等；第二步累加相消，再进一步放缩即得。尤其要关注恒等式

2、an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1).例1已知n∈N，求证：证:当k≥2时，此题的关键是发现式子例2（05北京）已知数列{an}中,a1=1,（1）求a2,a3的值。（2）证明当n=2,3,4,…时，分析:由可得然后实施放缩。证:（1）当k=2,3,4,5…时，二、构造“积”相消的形式此种方法可类比和相消的形式，注意恒等式，并加以灵活运用。例3已知n∈N,n>1，求证：证（从何而来你可知到？）例4（98全国）已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=45.（1）求数列{bn}的通项；（2）记,S

3、n是数列{an}的前n项和，试比较Sn与的大小，并证明你的结论。提示:注意到，可证三、构造等比数列极限求和将数列的一项放缩为一个等比数列的一项或几项，然后累加，最后取极限。例5（02全国）已知数列{an}中，，求证：（1）an≥n+2.（2）证:这正是问题的核心之所在，到此问题轻松可解。例6（05北京）在x轴上有一列点P1，P2，P3，…，Pn，…，已知当n≥2时，点Pn是把线段Pn-1Pn+1作n等分的分点中最靠近Pn+1的点，设线段P1P2，P2P3，…，PnPn+1的长度分别为a1,a2,a3,…,an，其中a1=1.(I)写出a2,a3

4、和an(n≥2,n∈N*)的表达式；(II)证明：a1+a2+a3+…+an<3(n∈N*).解(I)由已知Pn-1P=(n-1)PnPn+1,令n=2,P1P2=P3P4，所以a2=1,令n=3,P2P3=2P3P4,所以a3=,同理,(II)因为所以而n=1时，易知a1=1<3成立，所以a1+a2+a3+…+an<3(n∈N*).四、构造组合数求和将一个数列的一项放缩为二项展开式展开式的一项或几项，然后累加。例7.已知i,m,n是正整数，且1

5、原点对称。（1）求a,b,c的值；（2）设x是正实数，求证：解:（1）函数f(x)的图象按平移后得到的图象关于原点对称，即f(x+1)是奇函数。成立。∵ax+1>0,∴-bx+c=-(bx+c),x∈R成立。∴c=0,又f(2)=2,∵b∈N,得a=1,b=1.(2)证明;n=1时结论显然成立。当n≥2时，此题看作2-2的形式，可联想到组合计数，实施放缩。联想、类比、探索、转化——这正是人们由未知到已知认识世界的重要方法，掌握了这些方法，也就学会了探索万事万物之内在规律的方法。五、高考题赏析例9（03江苏）设a>0，如图1，已知直线l：y=ax

6、及曲线C：y=x2，C上的点Q的横坐标为a1(0

7、览众山小。”问题的解决，取决于对问题的把握，解决问题的关键就是抓住问题的实质，找准突破口，然后实施转化，使问题变为轻车熟路，迎刃而解。例10．（07全国）已知数列{an}中，a=2,an+1=(-1)(an+2),n=1,2,3,…(1)求{an}的通项公式(2)若数列{bn}中,b1=2,bn+1=,n=1,2,3,…证明：＜bn≤a4n-3,n=1,2,3…解.(1)用待定系数法.略.(2)用数学归纳法证明(1)当n=1时,因＜2b1=a1=2,所以

8、k-3,-当n=k+1时，bk+1-=-=＜0又＜=3-2∴bk+1-=＜(3-2)2(bk-)=a4k+1-也就是说，当n=k+1时，结论成立(3)