2012高考专题----数列与不等式放缩法

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1、高考专题——放缩法一、基本方法1.“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1.设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证。例2.已知a、b、c不全为零，求证：[变式训练]已知求证：2.分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：。3.裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n∈N*，求。例5.已知且，求证：对所

2、有正整数n都成立。4.公式放缩利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例6.已知函数，证明：对于且都有。例7.已知，求证：当时。5.换元放缩3对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。例8.已知，求证。例9.已知a，b，c为△ABC的三条边，且有，当且时，求证：。6.单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。例10.已知a，b∈R，求证。7.放大或缩小“因式”；例4、已知数列满足求证：8.固定一部分项，放缩另外的项；例6、求证：9.利用基本不等式放缩例7、已知

3、，证明：不等式对任何正整数都成立.10.先适当组合,排序,再逐项比较或放缩例8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.(1)证明：niA＜miA；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m二、放缩法综合问题（一）、先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：。（二）、先放缩再求和（或先求和再放缩）例、函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.1．放缩后成等差数列，再求和3例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1)求证：；(2)求证：2．放缩后成等比数列，再求和例3

4、．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{an}中，，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：4．放缩后为裂项相消，再求和例5、已知an=n，求证：＜3．3