高二数学第六节 互斥事件有一个发生的概率知识精讲 人教版

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1、高二数学第六节互斥事件有一个发生的概率知识精讲人教版【基础知识精讲】1.事件的和设A，B是两个事件，那么A+B表示这样一个事件：在同一试验下，A或B中至少有一个发生就表示它发生.“事件的和”教材中是结合实例说明A+B的意义的，它可以进一步推广，“A1+A2+…+An”表示这样一个事件，在同一试验中，A1，A2，…，An中至少有一个发生即表示它发生.2.互斥事件与彼此互斥不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，其中必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件.一般地，如果事件A1，A2，…，An中任何两个都是互斥事件，那么说事件A1，A2，…，An彼此互斥.说明①事件的互

2、斥是对两个事件说的.②对立事件一定是互斥事件，事件A的对立事件记作，但互斥事件未必是对立事件.3.互斥事件有一个发生的概率如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A+B)＝P(A)+P(B)(1)如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件A1+A2+…+An发生(即A1，A2，……，An中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和.即P(A1+A2+…+An)＝P(A1)+P(A2)+…+P(An)(2)对于公式(1)，我们可以用古典概型的例子加以证明：设在某一随机试验之下，共有N种等可能出现的结

3、果，其中有m1个结果属于事件A(也就是这m1个结果中任何一个发生都表示A发生)，有m2个结果属于事件B(也就是这m2个结果中任何一个发生都表示B发生).这里A与B互斥，所以属于事件A的m1个结果与属于事件B的m2个结果中不存在相同的结果，事件A+B的发生表示A与B中有一个发生，即在上述属于A的m1个结果连同属于B的m2个结果中，有任何一个发生都表示A+B发生(或者说，凡属于A的结果和属于B的结果都属于A+B)，因此.P＝(A+B)＝.又已知P(A)＝,P(B)＝.从而P(A+B)＝＝+＝P(A)+P(B)值得注意的是：①上面证法虽然是用古典概型的例子加以证明，但公式(1)对于非

4、古典概型的互斥事件仍然是成立的，公式(2)在等可能事件的情形下，不难用数学归纳法在公式(1)的基础上加以证明.②两个事件不互斥，就不能用公式(1).4.对立事件的概率根据对立事件的意义，A+是一个必然事件，它的概率等于1，又由于A与互斥，从而P(A)+P()＝P(A+)＝1.即两个对立事件的概率的和等于1，该公式还可以写为P()＝1-P(A).【重点难点解析】本节重点是互斥事件的概率加法公式的应用，难点是对互斥事件的概率的理解.例110件产品中有2件次品，任取2件检验，求至少有一件是次品的概率.解全是正品的概率为，则至少有一件次品的概率为1-.例2由经验得知，在人民商场付款处排

5、队等候付款的人数及其概率如下：排队人数概率012345人以上0.100.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队的概率(2)至少2人排队的概率解(1)记没有人排队为事件A，1人排队为事件B.2人排队为事件C，A、B、C彼此互斥.P(A+B+C)＝P(A)+P(B)+P(C)＝0.1+0.16+0.3＝0.56(2)记至少2人排队为事件D，少于2人排队为事件A+B，那么事件D与A+B是对立事件，则P(D)＝P()＝1-(P(A)+P(B))＝1-(0.1+0.16)＝0.74.例3甲袋装有m个白球，n个黑球，乙袋装有n个白球，m个黑球，(m≠n),现从两袋中各摸一个球

6、，A：“两球同色”B：“两球异色”，则P(A)与P(B)的大小关系为()A.P(A)＜P(B)B.P(A)＝P(B)C.P(A)＞P(B)D.视m、n的大小而定解应将A、B分别分解为互斥事件之前，利用公式E∩F＝F时，P(E∪F)＝P(E)+P(F).解法一：以A1表示取出的都是白球.A2表示取出的都是黑球，则A1，A2互斥且A＝A1∪A2，P(A)＝P(A1)+P(A2)＝+＝.以B1表示甲袋取出白球乙袋取出黑球，B2表示甲袋取出黑球乙袋取出白球，则B1、B2到斥且B＝B1∪B2，P(B)＝P(B1)+P(B2)＝+＝.由于m≠n，故2mn＜m2+n2.故P(A)＜P(B).

7、∴选A.解法二：显然B＝，所以按解法一解出P(A)后，可得P(B)＝1-P(A).＝.比较P(A)、P(B)即可选A.例4甲袋中装有白球3个，黑球5个，乙袋内装有白球4个，黑球6个，现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋，则甲袋中的白球没有减少的概率为()A.B.C.D.分析需将所求的比较复的事件分解为相对简单一些的事件之后，分别予以计算，最后再综合起来得结论.解法一：甲袋中白球没有减少的两种情形；一是从甲袋中取出的球为黑球，记作事件E，此时不论从乙袋中取