高中数学最小二乘估计-合作与讨论

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1、最小二乘估计-合作与讨论1.什么是回归分析?我的思路:本节所研究的回归分析是回归分析中最简单,也是最基本的一种类型——一元线性回归分析.对于线性回归分析,主要利用最小二乘估计,要注意以下几个方面:(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法.两个变量具有相关关系是回归分析的前提.(2)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的,对于性质不明确的两组数据,可先作散点图,在图上看它们有无关系.关系的密切程度,然后再进行相关回归分析.(3)求回归直线方程,首先应注意到,只有在散点图大致呈线性时,求出

2、的回归直线方程才有意义,否则,求出的回归直线方程毫无意义.2.什么是线性回归?什么是线性回归方程?我的思路:两个变量之间存在一种相关关系,为了深入了解事物的本质,往往也需要我们去寻找这些变量间的数量关系式.回归分析就是寻找这类不完全确定的变量间的数学关系式并进行统计推断的一种方法.在这种关系式中,最简单的是线性回归.因为两个变量如果是线性相关的,我们就可以用一条直线来近似找到两个变量间的数量关系,但这样的直线不止一条.如果一条直线与散点图上的所有的点的距离最小,我们就把这条直线称为回归直线,相应的方程称为线性

3、回归方程.求线性回归的常用方法就是最小二乘估计.“回归”这个词是高尔登在研究遗传现象时提出的.他发现:下一代身高与父母身高呈相关关系,下一代的身高有向中心回归的趋势.后人就把反映相关变量之间的关系的方程通称为“回归方程”，所进行的统计分析叫回归分析.3.如何求两个变量间的线性回归方程?我的思路:一般地,设x与y是具有相关关系的两个变量,且相应于n组观测值的n个点大致分布在一条直线的附近,我们来求在整体上与这n个点最接近的一条直线.设所求的直线的方程为=bx+a,①其中a、b是待确定的参数.于是,当变量x取一组

4、数值xi(i=1,2,…,n)时,相应地i=bxi+a(i=1,2…,n).于是得到各个偏差yi－i=yi－(bxi+a)(i=1,2,…,n).容易看到,上面各个偏差的符号可能有正有负,如果将它们相加会造成相互抵消,因此它们的和不能代表n个点与相应直线在整体上的接近程度.为了解决这一问题,我们采用n个偏差的平方和,即Q=(y1－bx1－a)2+(y2－bx2－a)2+…+(yn－bxn－a)2②来表示n个点与相应直线在整体上的接近程度.于是我们的问题是如何求得系数a、b,使Q取得最小值.为了书写方便,我们先

5、引进一个符号“”.这个符号是表示将若干个数相加，其英文名称是“sigma”，中文读作“西格马”.例如,可将x1+x2+…+xn记作xi,读作“－x－i,i从1到n”，即表示从x1加到xn的和.这样,n个数的平均数的公式可以写作=xi.上面的②式可以写作Q=(yi－bxi－a)2.③这个式子展开后,是一个关于a、b的二次多项式.利用配方法,可以导出使Q取得最小值的a、b的求值公式④4**.回归直线方程的推导(了解)首先提出需要用到的两个公式:(xi－)2=xi2－n,①(xi－)(yi－)=xiyi－n,②其中

6、公式①在初中“统计初步”里出现过，而公式②很容易证明.我们的问题是,求使Q=(yi－bxi－a)2取得最小值的a、b的值.将上式各项展开,再合并,得Q=(yi2+b2xi2+a2－2bxiyi－2ayi+2xiab)=yi2+b2xi2+na2－2bxiyi－2ayi+2abxi=na2－2an(－b)+b2xi2－2bxiyi+yi2=na2－2an(－b)+n(－b)2－n(－b)2+b2xi2－2bxiyi+yi2=n[a－(－b)]2－n(－b)2+b2xi2－b2xiyi+yi2=n[a－(－b)]

7、2－n2+2nb－nb22+b2xi2－2bxiyi+yi2=n[a－(－b)]2+b2(xi2－n2)－2b(xiyi－n)+(yi2－n2)=n[a－(－b)]2+b2(xi－)2－2b(xi－)(yi－)+(yi－)2=n[a－(－b)]2+(xi－)2[b－]2－+(yi－)2.在上式中,后两项与a、b无关,而前两项为非负数,因此要使Q取得最小值,当且仅当前两项的值均为0,即有b=,a=－b.这正是我们所要推导的公式.上面的推导过程虽然看上去较为复杂,但其解决问题的思路却较为清晰.先将字母a看成未知数

8、进行一次配平方,再将字母b看成未知数进行一次配平方,最后根据非负的变量在等于0时取得最小值这一特点得出所求的公式.