最小二乘估计.doc

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1、最小二乘估计随着空间技术的发展,人类的活动开始进入了太空,对航天器(包括人造地球卫星、宇宙飞船、空间站和空间探测器等)的观测手段和轨道确定提出了很高的精度要求。在计算技术高速发展的推动下,各种估计理论也因此引入到轨道估计方法中。大约在1795年高斯在他那著名的星体运动轨道预报研究工作中提出了最小二乘法。最小二乘法就成了估计理论的奠基石。最小二乘估计不涉及观测数据的分布特性,它的原理不复杂,数学模型和计算方法也比较简单,编制程序不难,所以它颇受人们的重视,应用相当广泛。对于严格的正态分布数据,最小二乘估值

2、具有最优一致无偏且方差最小的特性。实践证明,在没有粗差的情况下,大部分测量数据基本上符合正态分布。这是最小二乘估计至今仍作为估计理论核心的基础。最早的轨道确定就是利用最小二乘法,用全部观测数据确定某一历元时刻的轨道状态的“最佳”估值,即所谓的批处理算法定轨。长期以来,在整个天体力学领域之中,各种天体的定轨问题,几乎都是采用这一方法。卫星精密定轨的基本原理为：利用含有误差的观测资料和不精确的数学模型,通过建立观测量与卫星状态之间的数学关系，参数估计得到卫星状态及有关参数的最佳估值。参数估计的基本问题就是对

3、一个微分方程并不精确知道的动力学过程，用不精确的初始状态和带有误差的观测资料，求解其在某种意义下得卫星运动状态的“最佳”估值。常用的参数估计方法有两种，最小二乘法和卡尔曼滤波方法。最小二乘法是在得到所有的观测数据之后，利用这些数据来估计初始时刻状态量的值，由于用到的观测数据多、计算方法具有统计特性，因此该方法精度高。卡尔曼滤波在观测数据更新后，利用新的观测数据对状态量进行改进得到这一观测时刻的状态量，卡尔曼滤波适用于实时处理。卫星精密定轨输运高精度的事后数据处理，通常采用最小二乘法进行参数估计。记观测量

4、的权阵为P。利用加权最小二乘法计算总的观测方程方程，得卫星的参考状态为在精密定轨的过程中，由于状态方程和观测方程在线性化过程中会产生误差，上式的解算需要通过不断的迭代。迭代的收敛准则为：（1）卫星位置的改正量小于某个事先指定的值，比如0.01m；（1）两次迭代的残差满足，其中为小量，可取0.01。由于观测资料较多，在参考状态处线性化得线性方程经常严重“病态”，在实际计算中需要特别注意。卫星轨道精密确定需要高精度的观测数据。尽管目前的观测精度已大大提高,但在实际观测中,由于各种因素的影响,在观测数据中,往

5、往存在着一定数量粗差。所以,在轨道确定之前需要对观测数据进行预处理。但在一般预处理中,并未考虑观测数据与轨道动力学模型的吻合情况,只能剔除大野值,仍有相当一部分质量不好的数据保留了下来,然后进行初步定轨,并由此进行残差分析。由于观测数据存在着距离偏差和时间偏差,所以残差分析的过程为:首先对初步定轨所得的残差进行距离偏差和时间偏差改正;然后对改正后的残差进行多项式拟合;最后对拟合后剩余残差较大者予以剔除,以消除其中的粗差。因观测误差中存在着偶然误差和系统误差,而且由于模型不准,上述方法还难以凑效,对预处理

6、过的卫星激光测距数据进行统计分析表明还有大量的粗差存在。基于卫星激光测距的数据量十分庞大,经过预处理后还存在着大量的粗差,美国航空航天管理局(NASA)激光测卫工作组建立了一个激光测卫数据质量自动控制系统(AQC),负责对全球的激光测卫数据进行检验,发现观测数据的问题,查出问题原因并进行改正,对粗差予以剔除。数据质量自动控制系统对Lageos卫星的激光测距实测数据的检验表明,15%的激光测卫数据存在问题,仅5%能被该系统探测到,而10%有问题的数据要靠其它手段探测。数据预处理和激光测卫数据质量自动控制系

7、统都难以完全剔除粗差,美国德克萨斯大学空间研究中心卫星精密定轨与动力学测地软件“UTOPIA”对各卫星观测台站软硬件进行综合评价,对精度较低的台站予以降权;对误差较大的观测数据或观测弧段予以剔除。其它的卫星精密定轨软件数据预处理与“UTOPIA”类似。但对观测台站予以降权或者剔除一些观测数据存在人为性,理论不够完备,容易剔除一些观测精度很高的观测数据,付出的代价大,数据利用率低。为此我们可以考虑在卫星精密定轨中引入抗差估计来减弱观测资料中粗差的影响。应用抗差估计理论,开展卫星精密轨道确定的研究,可望更进

8、一步提高定轨的精度。在卫星的精密定轨中,法方程的解一般采用经典的最小二乘估计。经典最小二乘估计在观测数据服从正态分布时,具有无偏、一致、优效性,但是当观测数据遭受异常污染时,最小二乘法又具有负面效应,即估值不具有抗干扰性。抗差估计是在粗差不可避免的情况下,选择适当的估计方法使未知参数估值尽可能避免粗差的影响,得出正常模式下的最佳估值。抗差估计的原则是要充分利用有效信息,限制利用可疑信息,排除有害信息。通过等价权,抗差估计原理与最小二乘形式有