初二数学第五章复习 相似形 人教义务几何

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1、初二数学第五章复习相似形人教义务几何【单元知识总结】本章重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理,平行线分线段成比例定理.全章主要内容及其有关知识的相互联系如下图所示:1.比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比_________另外两条线段的比,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.2.比例的有关概念:已知四条线段a、b、c、d,如果或a∶b=c∶d,那么a、b、c、d叫做比例的________,线段_______叫做比例外项,线段___________叫做比例内项,线段d叫做________的第四比例项,如果作为比例内项的是两条相同的线段,即或a∶b=b∶c,则线

2、段__________叫做线段a、c的比例中项.3.比例的性质(1)比例的基本性质:如果a∶b=c∶d,那么________,反之,如果ad=bc,那么___________;(2)合比性质:如果,那么_________;(3)等比性质:如果=…=(b+d+…+n≠0),那么__________.4.黄金分割:把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的________,叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,这时AC=__________AB≈______AB.5.平行线分线段成比例定理:三条________截两条直线,所得

3、的对应线段成比例.6.___________于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.7.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段_________,那么这条直线平行于三角形的第三边.8._________于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的_________对应成比例.9.对应角__________,对应边成________的三角形叫做相似三角形.10.相似三角形________的比k,叫做相似比(或相似系数).11.相似三角形的判定(1)__________于三角形一边的直线和

4、其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与___________相似;(2)__________对应相等,两三角形相似;(3)两边对应__________且__________相等的两个三角形相似;(4)三边对应__________,两三角形相似;(5)如果一个直角三角形的__________边和一条__________边与另一个直角三角形的__________边和一条__________边对应成比例,那么这两个直角三角形相似;(6)直角三角形被斜边上的__________分成的两个直角三角形和原三角形相似.12.相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比、

5、对应中线的比和对应角平分线的比都等于_________.(2)相似三角形周长的比等于__________.剖析:由已知条件三个比相等,可联想到等比性质的证明方法,设辅助字母.又根据结论我们可运用等比性质,比例的基本性质及比例变形.解法一:设=k,则a=4k,b=5k,c=7k.∴=.∴,∴,∴.[例2]如图5-75,ABCD是一矩形纸片,E是AB上的一点,且BE∶EA=5∶3,CE=15,把△BCE沿折痕EC向上翻折,若点B恰好落在AD边上,设这个点为F,求AB、BC的长.图5-75解:连结EF、CF,则△BEC≌△FEC.∴BE=EF,∠B=∠EFC=90°.

6、设AE=3k,则BE=EF=5k.∴AB=CD=8k.在Rt△AEF中,AF==4k∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.∵∠A=∠D.∴△EAF∽△FDC.∴.∴.∴DF=6k.∴BC=AD=4k+6k=10k.在Rt△BCE中,∵BE2+BC2=CE2,∴(5k)2+(10k)2=(15)2.解之得k=3.∴AB=8k=8×3=24.BC=10k=10×3=30.说明:对于解“翻折”问题,一般方法是“设元”,然后利用勾股定理或相似三角形对应边成比例建立等式或列方程,从而求出未知.[例3]求证:两边和第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似.已

7、知:如图5-76,在△ABC和△A′B′C′中,AD、A′D′分别是它们的中线且=.求证:△ABC∽△A′B′C′.图5-76剖析:要证△ABC∽△A′B′C′,由已知,只需再证∠BAC=∠B′A′C′即可.证明:延长AD到E使DE=AD,连结CE,延长A′D′到E′使D′E′=A′D′,连结E′C′.∵AD=ED,∠1=∠2,BD=CD,∴△ABD≌△ECD,∴AB=EC,∠3=∠E.同理:A′B′=E′C′,∠5=∠E′.∵=,∴==.即:==.∴△AEC∽△A′E′C′,∴

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