暑假专题 三角函数的图象和性质 苏教版

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1、暑假专题三角函数的图象和性质一.本周教学内容：暑假专题——三角函数的图象和性质二、本周教学目标：（1）会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数y=sinx，正切函数y=tanx的图象，并在此基础上根据诱导公式画出余弦函数y=cosx的图象；理解周期函数的定义。并通过它们的图象理解并掌握正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx，正切函数y=tanx的性质。（2）会用“五点法”画出正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx、函数y=Asin（ωx+）的简图，并理解A、、的物理意义。（3）会根据y=sinx的基本性质，讨论y

2、=Asin（ωx+）的性质。三、本周知识要点：（一）知识系统及其结构：（二）基本概念及相关知识点：1、三角函数线：设单位圆圆心在原点，和横坐标的正方向OX交于A点，与角α的终边交于P点，从P点作OX的垂线MP，垂足为M。sinα＝MP（正弦线），cosα＝OM（余弦线），tanα＝AT（正切线）。有向线段MP，OM，AT，统称三角函数线。2、三角函数图象的作法：（1）几何法：利用单位圆中的三角函数线，作出各三角函数的图象，以正弦函数为例，具体作法如下：在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与

3、x轴的交点A起把圆分成12等份。过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角0，，，，…，2π的正弦线。相应地，再把x轴上从０到2π这一段（2π≈6.28）分成12等份．把角x的正弦线向右平移，使得正弦线的起点在x轴上，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了正弦函数y＝sinx（x∈［0，2π］）的图象。（2）描点法及其特例——五点作图法三角函数的图象亦可用通常作函数图象的描点法作出。对于正弦函数及余弦函数可用五点法作出简图。（3）利用图象变换作三角函数图象。三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换

4、等。由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当A＞1）或缩短（当0＜A＜1＝到原来的A（A＞0且A≠1）倍，得到y＝sinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换。由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜ω＜1＝或缩短（ω＞1）到原来的（ω＞0且ω≠1）倍，得到y＝sinx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换。由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0＝平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相应变换或叫做沿x轴方向的平移。由y＝sin

5、x的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0＝平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移。由y＝sinx的图象变换到y＝Asinx（ωx＋φ）的图象，需要同时运用振幅变换、周期变换及相位变换，将由专门条目介绍。3、三角函数的图象：三角函数的图象从“形”的侧面反映了三角函数随自变量x变化而变化的规律，使抽象的三角函数性质转化为直观形象的图象。y＝sinxy＝cosxy＝tanx4、正弦函数的主要性质：（1）定义域是实数集R，记作y＝sinx，x∈R（2）值域是[－1，1]，当且仅当x＝＋

6、2k，k∈Z时取得最大值1，当且仅当x=－＋2k，k∈Z时取得最小值－1；（3）周期性：正弦函数是周期函数，2k（k∈Z，且k≠0）是它的周期，最小正周期是2；（4）奇偶性：正弦函数是奇函数；（5）单调性：正弦函数在每一个闭区间[－＋2k，＋2k]（k∈Z）上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[＋2k，＋2k]（k∈Z）上都是减函数，其值从1减小到－1。5、余弦函数的主要性质：（1）定义域是实数集R，记作y＝cosx，x∈R；（2）值域是[－1，1]，当且仅当x＝2k，k∈Z时取得最大值，当且仅当x＝（2

7、k+1），k∈Z时取得最小值－1；（3）余弦函数是周期函数，2k（k∈Z，且k≠0）是它的周期，最小正周期是2；（4）奇偶性：余弦函数是偶函数．（5）单调性：余弦函数在每一个闭区间[（2k－1），2k]（k∈Z）上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2k，（2k＋1）]（k∈Z）上都是减函数，其值从1减小到－1。6、正切函数的主要性质：（1）定义域是{x

8、x≠+k，k∈Z}（2）值域是实数集R（3）周期性：正切函数是周期函数，周期是（4）奇偶性：正切函数是奇函数（5）单调性：正切函数在开区间（－＋k，＋k

9、），k∈Z内都是增函数。补充：正弦函数是以2π为最小正周期的周期函数，每一条直线都是正弦曲线的一条对称轴；每一个点（kπ，0）都是正弦曲线的一个对称中心。余弦函数是以2π为最小正周期的周期函数，每一条直线都是余弦曲线的一条对称轴；每一个点都是余弦曲线的一个对称中心。7、周期函数：对于函数y＝f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域