初三数学正多边形和圆知识精讲 人教实验版

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1、初三数学正多边形和圆知识精讲一.本周教学内容：正多边形和圆教学目的：1.使学生正确理解、掌握正多边形的定义，并能直接应用定义判定一个多边形为正多边形。2.使学生掌握正多边形和圆的关系的第一个定理，清楚这个定理的证明思路，了解这个定理的作用，并能应用它来解决有关问题。3.使学生掌握正多边形中心、半径、边心距、中心角等概念，以及正多边形的对称性、相似性，并能用这些性质进行证明或计算。教学过程：1.正多边形的概念从P113的例子中，可以看到这些图形的共同特点是在同一个图形里，所有的边都相等，所有的角都相等，抓住这一本质属性给出正多边形定义。定义：各边相等，各角也都相等的多边形叫做正多边形。（1

2、）“各边相等”的多边形未必都是正多边形。如菱形。（2）“各角相等”的多边形也未必都是正多边形。如矩形。要把正三角形这种特殊的正多边形和一般正多边形区别开来，因为三角形具有稳定性，所以对于三角形有各边相等各角相等。而对于边数大于3的多边形，这两个条件：各边相等、各角相等则是彼此独立的。也就是说，一个多边形必须同时满足这两个条件，才能说它是正多边形。即各边相等且各角相等正多边形。因此，根据正多边形的定义可以判定一个多边形是否是正多边形。2.正多边形和圆的关系把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形定理2任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

3、。过正多边形任意三个顶点的圆就是这个正多边形的外接圆，以外接圆的圆心为圆心，以圆心到正多边形任何一边的距离为半径的圆就是正多边形的内切圆，正多边形有且只有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，这是正多边形的一个特性。3.正多边形的轴对称性类比圆的对称性，可以得到：正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它也是中心对称图形。正n边形有n条对称轴，这些对称轴都通过正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心。4.正多边形的有关概念（1）正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心O（2）外接圆的半径叫做正多边形的半径OA（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角∠AOB（4）中心到正多边

4、形的一边的距离叫做正多边形的边心距OHn边形的中心角是每一个内角等于每一个外角等于设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r则有正n边形的面积周长例1.△AOB为正三角形，以O为圆心，OA为半径作⊙O，直径FC//AB，AO、BO的延长线交⊙O于D、E。求证：ABCDEF是正六边形。证：∵△OAB为正三角形∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°∵OB=OA∴点B在⊙O上∵FC//AB∴∠FOA=∠OAB=60°，∠COB=∠OBA=60°∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA∴，即可证角相等∴六边形ABCDEF是正六边形例2.一个正多边形的半径为，边心距为1，求中心

5、角、边数、内角、周长和面积。解：在Rt△AOM中，∴AM=OM∴△AMO是等腰直角三角形∴∠AOM=45°又正四边形内角为90°，正四边形边长为2正四边形周长为2×4=8正四边形面积为∴中心角为90°，内角为90°，边长为2，周长为8，S=4例3.已知：如图，⊙与⊙外切于A点，用反证法证明，A点在连心线上。解：假设A点不在连心线上∵直线是这两个圆的对称轴∴A点关于直线的对称点也是这两圆的公共点∴相交，与已知⊙与⊙外切矛盾∴假设错误∴A点在连心线上例4.已知：如图，⊙与⊙外切于A点，直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B、C点，若⊙的半径r=2cm，⊙的半径R=3cm。求：BC的长。解：连，作O

6、1D⊥O2C于D∵r=2，R=3∴∴例5.已知：两圆的半径分别为R和r（R>r），两圆的圆心距为d，当时，试判断两圆的位置关系。解：∴两圆内切或外切例6.已知：如图，两圆相交于A、B两点，过A点的割线分别交两圆于D、F点，过B点的割线分别交两圆于H、E点。求证：HD//EF。证：连AB∠1=∠2，∠3=∠1∴∠2=∠3∴HD//EF等分圆周的方法有两种：1.使用量角器法由于正n边形的中心角，所以利用量角器就可以把顶点在圆心的周角等分，从而把圆周分成n等份，依次连结各分点，即得到圆内接正n边形。当然，还可以利用量角器先作一个圆心角等于，这个角所对的弧是圆周的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧

7、，就得到圆的n等分点，依次连结各分点，也可得到圆的内接正n边形。由于在度量正n边形的中心角时易有误差，所以使用量角器法是近似等分圆周的方法，在精确度要求不高的情况下可以使用量角器法。2.尺规作图法由于受尺规作图的限制，不能用尺规任意等分圆周，只能对于一些特殊的正n边形采用尺规作图法。尺规作图法比较准确。（1）正四、八边形的作图；正四边形的作法：图1如图1，①作直径AC⊥BD；②依次连结AB、BC、CD、DA。则四边形ABCD即为所求