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时间:2018-12-17
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1、初三数学圆和圆的位置关系知识精讲一.本周教学内容:圆和圆的位置关系二.教学目标:1.使学生掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法。2.使学生掌握两圆连心线的性质。3.通过演示两圆的位置关系,培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力;培养学生的辩证唯物主义观点。三.教学重点和难点:两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系既是重点也是难点。四.教学过程:(一)复习:直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的?直线和圆有三种位置关系,即直线和圆相离、相切、相交。各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的。(二)新课电脑演示,做两圆的相对运动。1、定
2、义:(1)如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离。外离:两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离。(图(1))内含:两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含(图(5))。两圆同心是两圆内含的一个特例。(图(6))(2)如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切外切:两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切。这个唯一的公共点叫做切点。(图(2))内切:两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内
3、切。这个唯一的公共点叫做切点。(图(4))(3)两个圆有两个公共点,此时叫做这两个圆相交。(图(3))注意:(1)两圆外离与内含时,两圆都无公共点,但同时要考虑内部和外部的因素。两圆外切与内切也有这样的比较。(2)两圆外切和内切统称两圆相切,即外切和内切的共性是公共点的个数唯一。(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类:相离(外离和内含);相交;相切(外切和内切)。提问:从两圆的公共点的个数考虑,无公共点则相离;有一个公共点则相切;有两个公共点则相交。除以上关系外,还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?答:“不在同一直线上的三个点确定一个圆”判断出这两个圆是同一个
4、圆。即重合。结论:在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系。2、两圆位置关系的数量特征设两圆半径分别为R和r。圆心距为d,用电脑或投影再次出示两圆的五种位置关系,让学生观察R,r和d之间有何数量关系?学生很可能只说出d>R-r,则应向学生说明,这时两圆还可能外切或外离,如果只说出d<R+r,则还可能内切或内含。结合上图会发现R,r和O1O2构成△AO1O2的三边。所以只有R-r<d<R+r时。才能判定两圆相交。反过来也成立,于是有:为了方便记忆,将这五种数量关系用数轴表示为:例:如图,⊙O的半径为5厘米,点P是⊙O外一点,OP=8厘米。求:(1)以P为圆心作⊙P与⊙
5、O外切,小圆⊙P的半径是多少?(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切,大圆⊙P的半径是多少?解:(1)设小圆⊙P与⊙O外切于点A,则PA=OP-OA=8-5=3cm所以⊙P1的半径是3cm(2)设大圆⊙P与⊙O内切于点B,则PB=OP+OB=8+5=13cm所以⊙P2的半径是13cm3、相切两圆的性质。P109思考观察发现:相切两圆也组成轴对称图形,通过两圆圆心的直线叫连心线,是它们的对称轴相切两圆的连心线的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上。(轴对称来说明,证明可用反证法,不作要求)例:如图,已知,⊙O1和⊙O2外切于P,并且⊙O和⊙O1、⊙O2分别内切于M、N
6、,△O1O2O的周长为18cm。求:⊙O的半径长。解:设⊙O、⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r1、r2∵⊙O1和⊙O2相外切∴O1O2=r1+r2又⊙O和⊙O1、⊙O2分别相内切∴O1O=R-r1,O2O=R-r2。△O1O2O的周长为18cm即O1O2+O1O+O2O=(r1+r2)+(R-r1)+(R-r2)=18。∴R=9(cm)例:⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,求证:直线O1O2垂直平分AB。证:连接O1A、O1B、O2A、O2B∵O1A=O1B∴O1在AB的垂直平分线上∵O2A=O2B∴O2在AB的垂直平分线上∵直线O1O2垂直平分AB总结:相交两圆的连心
7、线垂直平分两圆的公共弦。例:已知:两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,⊙O1经过点O2。求∠O1AB的度数解:∵圆O1经过O2∴∠O1AO2=60°∵O1A=O1B,O2A=O2B∴∠O1AB=∠O1AO2=30°在解决有关相交两圆的问题时,常常添加以下几种辅助线:连心线、公共弦、连结交点与圆心。从而可以把两圆半径、公共弦长的一半、圆心距集中到同一个三角形中,利用三角形的有关知识加以解决。例:如图,已知⊙O1和⊙O2相交于点A、B,O1在⊙O2上,AC是⊙O1的直径,CB与⊙O2相交于点D,连结AD。(1)求证:AD是⊙O2的直径。(2)求证:D
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