例谈数学解题中的“变元”处理术 学法指导

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1、例谈数学解题中的“变元”处理术李太敏变元是数学的特征，变元所引起的变化，常会使学生在解题中茫然四顾，不知所措，可以这样说，良好的变元处理，是成功解题的一半。一、减元化繁为简，化多为少，是任何解题的必经之路，因而减少变元也就是在解含有多元的题目中的首选方法。例1.设，则的最小值是（）A.2B.C.D.分析：由基本不等式得由于含有四个变元，至此或出现审题障碍，或直观估测时，取最小值，从而出现误解。如若设法将题中的四个变元进行减元，可得，从而正确答案应为（C）。二、增元1.将一个较复杂的式子看成一个整体，增加一个变元将其替换，并在新变

2、元允许值内讨论并解决问题。例2.数列中，，，求通项公式。解：令则可得即是一个等差数列，由此可得：2.把待求结果看作一个新增的变元，可以把已知条件统一起来，沟通条件与结论间的联系，一方面最能表达问题之间关系，另一方面也会使解决问题的过程更简洁。例3.已知a，b，c为非零实数，且，求的值。解：令代入已知条件得：即从而ab+bc+ca=0或由ab+bc+ca=0得即综上所述，3.当问题条件中出现连续比例形式的等式时，往往可以令其比值为新变元，从而可抓住问题的本质特征，优化解决问题的过程。例4.已知，求证：。证明：将已知等式两边同乘以a

3、+b得：即故令其比值为t，则从而三、转元当原有的变元不足以发现问题的本质，这时常常会考察问题的结构特征，将其转元，转成新的变元，从而可借此增加条件，拓宽解题途径。例5.解不等式解：令则原不等式可化为解得：从而即原不等式的解为四、虚元把问题中出现的某个常数，看作一个新的“虚变元”，将其带入其它条件或结论，即“常数代换”，往往能打破思维的定势，收到意想不到的效果。例6.若a，b，x，y均为正数，且的最小值为18，求a，b。解：将“1”当成一个变元，得：从而又由此解得：五、主元多变元的干扰，常会使学生思维的头绪陷入众多繁复的岔道中，剪

4、不清，理还乱，而如若分清主次，抓住主元，则犹如抓住一根主线，一目了然。例7.设奇函数上是增函数，且，若函数对所有的都成立，当时，t的取值范围是（）A.B.C.D.解：对于而言，把x当成主元的最大值为得即再把a看成主元，不等式左边可看成关于a的函数令则且由此可得正确答案为（C）。例8.随着k值的变化，方程的直线形成了一个直线系，若该直线系中有且只有一条直线经过点A，由所有这样的点A组成的集合记作M，试问M中的点组成怎样的曲线？解：本题有三个变元x，y，k，如若把k看成主元则原方程可当成关于k的二次方程：“有且只有一条直线经过点A”

5、即相当于该方程有两个相等的实根，从而△=0即化简得：即M中的点组成了抛物线。