人教版高三数学椭圆例题解析

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1、高三数学椭圆例题解析一.本周教学内容：椭圆二.知识内容：1.椭圆方程（1）标准方程：或（2）参数方程：2.椭圆的几何性质对称性、离心率、范围、顶点等3.直线与椭圆位置关系（1）相交（2）相切（3）相离【典型例题】[例1]直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，求的取值范围。解：由则对恒成立对恒成立，又，则有对恒成立，故即，又由，所以另解：令，则问题转化为直线与圆总有公共点，求的取值范围。由点线距离公式，有对恒成立，下同解法1又解：利用数形结合，直线系恒过定点，直线与椭圆总有公共点等价于点在椭圆内部，即，又故[例2]已知椭圆和两点，，若线段AB

2、和椭圆没有公共点，求的取值范围。解：线段AB的方程为：，即代入椭圆方程，并整理得问题等价于该方程无实数解，令，由对称轴，，故在上没有实根的充要条件是或，又，故或又法：利用数形结合，当椭圆分别过点A和点B时，，故或[例3]已知椭圆和直线：，试确定的范围，使椭圆上有两个不同的点关于直线对称。解：设和是椭圆上关于直线对称的两点，则过A、B的直线方程可写成代入得满足又，故AB中点为且M在上故代入，得另解：由，相减得由，则，故设AB中点为，故又M在上，则，解得，又M在椭圆内，故[例4]若圆与椭圆有公共点，求圆的半径的取值范围。解：由，令，则两曲线

3、有公共点，在上有实根，而，故，在有实根，又故又解：利用参数方程，由圆，椭圆两曲线有公共点，消去，整理得，当时，，当时，∴[例5]已知直线，椭圆中心在原点，焦点在轴上且离心率，若椭圆上恰有三点到的距离为，求椭圆的方程。解：设椭圆方程为，由故，于是椭圆方程为，即由与直线距离为的点的集合为两条平行于的直线设为，由平行线距离公式，有或故与显然椭圆与有两个公共点，故当且仅当与椭圆相切时满足条件，把代入，并整理得由所以所求椭圆方程为[例6]在椭圆上求一点P，使它到直线的距离最短。解：设与椭圆相切并与平行的直线方程为代入，并整理得故两切线方程为和，显

4、然距最近切点为另解：设椭圆的参数方程为（为参数）设为椭圆上任意一点，则它到的距离为其中，，当时，，[例7]如图，已知椭圆，，，，，试问当动点P在上移动到什么位置时，三角形PCD的面积有最小值，求该最小值及此时P的坐标。解：由已知，，故且CD的方程为，即设，则P到CD的距离为其中，，当时，故，此时的坐标为，即另解：设与CD平行的直线的方程为代入=1得若与椭圆相切，则，则当时，最小。与CD到距离，于是，【模拟试题】（答题时间：60分钟）1.，是直线与椭圆相切的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件2.已知点

5、P在椭圆上，则的最大值（）A.B.C.D.3.点P在椭圆上，且到直线的距离为，则P的个数为（）A.1B.2C.3D.44.若直线与椭圆相交于不同的两点M、N，且线段MN恰好被直线平分，则直线的倾斜角的范围是。5.若曲线与曲线有公共点，则的取值范围是。6.过点的直线与中心在原点，焦点在轴上且离心率的椭圆E交于A、B两点，直线过线段AB中点M，又椭圆E上存在一点与右焦点关于直线对称，试求直线与椭圆E的方程。[参考答案]http://www.DearEDU.com1.C2.D3.B4.5.6.解：设椭圆E：由，故椭圆E：，设的斜率为则由，可得

6、则的方程为，即，关于对称点在椭圆E上，则，于是椭圆E的方程为