高二数学椭圆及其标准方程例题解析 人教版

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1、高二数学椭圆及其标准方程例题解析一.本周教学内容：椭圆及其标准方程二.本周教学重、难点：1.重点：椭圆的定义和标准方程。2.难点：椭圆的定义和标准方程的联系，标准方程的推导过程。[例1]求适合下列条件的标准方程（1）两个焦点坐标分别是（，0），（3，0）椭圆经过点（5，0）（2）椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，求椭圆的标准方程。（3）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且椭圆经过点，，求椭圆的方程。解：（1）∵椭圆的焦点在轴上∴设它的标准方程为（）∵，∴，∴∴所求椭圆的方程为（2）由题意：，∴又

2、焦点在轴或轴上∴或（3）∵椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上∴可设椭圆的方程为∵椭圆过∴∴∴方程为[例2]方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围。解：∴∴[例3]方程表示何种曲线？解：（1）时，是平行于轴的两条平行直线（2）时，，方程，表示焦点在轴上的椭圆。（3）时，表示圆。（4）时，表示焦点在轴上的椭圆（5）时，表示平行于轴的两条平行直线[例4]为两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，），另两边AB、AC的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程。解：设顶点A的坐标为（）由题意得∴顶点A的轨迹方程为（）[例5]已知椭圆（），短轴的一个端点

3、与两焦点连线构成一个正三角形且焦点到椭圆上的点的最短距离为，求此椭圆的方程。解：设P为椭圆上任一点，两个焦点为，其中短轴的一个端点为B（）∵为正三角形∴∴∵焦点到椭圆上的点的最短距离为∴把代入得，∴∴[例6]焦点分别为（0，）和（0，）的椭圆截直线所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程。解：设且（1）∴∵∴∴（2）由（1）（2）：，∴[例7]P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，连结、（1）的最小值是多少？（2）当为钝角时，点P的横坐标取值范围是什么？解：（1）（2）∴∴∴∴[例8]已知椭圆的焦点是，P为椭圆上一点，且是和的

4、等差中项。（1）求椭圆的方程（2）若点P在第三象限，且，求解：（1）由题设∴又∴∴（2）设，则由正弦定理得：∴（等比定理）∴∴∴∴∴（答题时间：60分钟）一.选择：1.椭圆的焦点坐标是（）A.（）B.（）C.（）D.（）2.方程表示椭圆，则的取值范围是（）A.B.C.D.3.已知椭圆上一动点到两定点、的距离之和为20，，则此椭圆的方程为（）A.B.C.或D.1或4.设P是椭圆上一点，P到两焦点、的距离之差为2，则是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形5.若的两个顶点坐标为A（）、B（4，0），的周长为18，则

5、顶点C的轨迹方程为（）A.B.C.D.6.已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段，则线段中点M的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.可能是圆也可能是椭圆D.以上都有可能7.若圆上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（）A.B.C.D.8.已知A（0，）、B（0，1）两点，的周长为6，则的顶点C的轨迹方程是（）A.（）B.（）C.（）D.（）二.填空：1.已知动圆C和定圆C1：内切而和定圆：外切，设C（），则。2.已知椭圆上一点P与椭圆两焦点、连线的夹角为直线，则=。3.若长度为8的线段AB的

6、两个端点A、B分别在轴、轴上滑动，点M是AB的中点，则点M的轨迹方程是。4.点P是椭圆上一点，以点P以及焦点、为顶点的三角形的面积等于4，则P点的坐标是。三.解答题：1.的两个顶点A、B的坐标分别是（）（5，0），边AC、BC所在直线的斜率之积为，求顶点C的轨迹。2.如下图，已知椭圆（其中），点P为其上一点，、为焦点，的外角平分线为点，关于的对称点为Q，交于点R。（1）当P点在椭圆上运动时，求R的轨迹方程；（2）设点R形成的曲线为C，直线：与曲线C相交于A、B两点，的面积为S，求S取得最大值时的值。3.椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，

7、椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点、组成的三角形的周长是，且，求椭圆的方程。[参考答案]http://www.DearEDU.com一.1.C2.D3.D4.B5.D6.B7.C8.B二.1.2252.483.4.三.1.解：设顶点C的坐标为（），则，∵∴即（）为所求轨迹方程∴顶点C的轨迹是椭圆（不包括长轴端点）2.（1）解法一：连结PQ∵、Q关于对称∴，，又为的外角平分线，故点、P、Q在同一直线上设R（），Q（），（，0），（）则，，∴，∴∴故R的轨迹方程为（）解法二：同解法一得、P、Q共线连结OR∵，∴即R的轨迹是以O为原点，为半径的圆

8、又P、R不在轴上∴R的轨迹方程（）（2）解：∵当时，的最大值为此时弦心距∵∴∴3.解：依题意，可设椭圆的方程是或∵∴又∴∴，，故所求椭圆的方程是或