特别解析椭圆经典例题分类

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1、特别解析：椭圆经典例题分类题型一.椭圆定义的应用例1椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当为长轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．例2已知椭圆的离心率，求的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得．当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得，即．∴满足条件的或．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为与9的大小关系不定，所以椭

2、圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上．故必须进行讨论．例3已知方程表示椭圆，求的取值范围．解：由得，且．∴满足条件的的取值范围是，且说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆．例4已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出22的取值范围．解：方程可化为．因为焦点在轴上，所以．因此且从而．说明：(1)由椭圆的标准方程知，，这是容易忽视的地方．(2)由焦点在轴上，知，．(3)求的取值范围时，应注意题目中的条件例5已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内

3、切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．题型二.焦半径及焦三角的应用例1已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在

4、第一象限．由余弦定理知：·．①由椭圆定义知：②，则得：．22故．例2已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．　求的最大值、最小值及对应的点坐标；分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：如上图，，，，设是椭圆上任一点，由，，∴，等号仅当时成立，此时、、共线．由，∴，等号仅当时成立，此时、、共线．建立、的直线方程，解方程组得两交点、．综上所述，点与重合时，取最小值，点与重合时，取最大值

5、．题型三参数方程应用例1求椭圆上的点到直线的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．22解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到直线的距离为：．当时，．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．例2　(1)写出椭圆的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1)．(2)设椭圆内接矩形面积为，由对称性知，矩形的邻边分别平行于轴和轴，设为矩形在第一象限的顶点，，则，故

6、椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．例3　椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点)，求其离心率的取值范围．分析：∵、为定点，为动点，可以点坐标作为参数，把，转化为点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于、、的一个不等式，转化为关于的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是，则椭圆上的点，，∵，∴，即，解得或，22∵　∴（舍去），，又∴，∴，又，∴．说明：若已知椭圆离心率范围，求证在椭圆上总存在点使．如何证明？题型四相交情况下--弦长

7、公式的应用例1已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．解：（1）把直线方程代入椭圆方程得，即．，解得．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．根据弦长公式得：．解得．方程为．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运